Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 10021 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [1] [1]

Rozwiązanie:

Równanie [2] [2]

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [3] [3]

Rozwiązanie:

Równanie [4] [4]

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [5] [5]

Rozwiązanie:

Równanie [6] [6]

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [7] [7]

Rozwiązanie:

W tym przypadku pochodna wyrażenia podpierwiastkowego jest równa wartości mianownika, więc aż się prosi aby użyć podstawienia t=x2+x+1.

Równanie [8] [8]

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [9] [9]

Rozwiązanie:

Ten przypadek jest podobny do przypadku z zadania 4, jednakże zastosować warto tutaj podstawienie typu t2=x2+x+1.

Równanie [10] [10]

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [11] [11]

Rozwiązanie:

Równanie [12] [12]

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [13] [13]

Rozwiązanie:

Równanie [14] [14]

Parametry A, B muszą spełniać równość:

Równanie [15] [15]

z której można ułożyć układ dwóch równań:

Równanie [16] [16]

Podstawienie i obliczenie:

Równanie [17] [17]

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [18] [18]

Rozwiązanie:

Równanie [19] [19]

Zadanie 9 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [20] [20]

Rozwiązanie:

Równanie [21] [21]

Zadanie 10 Obliczyć całkę z funckji:

Równanie [22] [22]

Rozwiązanie:

Równanie [23] [23]

Zadanie 11 Obliczyć całkę z funckji:

Równanie [24] [24]

Rozwiązanie:

Równanie [25] [25]

Zadanie 12 Obliczyć całkę z funckji:

Równanie [26] [26]

Rozwiązanie:

Równanie [27] [27]

Zadanie 13 Obliczyć całkę z funckji:

Równanie [28] [28]

Rozwiązanie:

Równanie [29] [29]

Zadanie 14 Obliczyć całkę z funckji:

Równanie [30] [30]

Rozwiązanie:

Równanie [31] [31]

Obliczenie całki I1:

Równanie [32] [32]

Całka I2 wyliczona została już w zadaniu 13:

Równanie [33] [33]

Równanie sumy całek I1, I2:

Równanie [34] [34]

Zadanie 15 Obliczyć całkę z funckji:

Równanie [35] [35]

Rozwiązanie:

Tym razem rozwiązanie przez podstawienie gdy współczynnik a funkcji podpierwiastkowej jest większy od zera:

Równanie [36] [36]

Zadanie 16 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [37] [37]

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcji podpierwiastkowej nie można zastosować podstawienia z zadania 15 ponieważ parametr a jest mniejszy od zera, jednakże ponieważ współczynnik c owej funkcji jest większy od zera więc można zastosować następujące podstawienie i rozwiązanie:

Równanie [38] [38]

Zadanie 17 Obliczyć całkę z funkcji:

Równanie [37] [37]

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcję podpierwiastkową można by było rozpisać jak w zadaniu 12 lecz nie da się jej rozwiązać metodami z zadań 15 czy 16. Jednakże jeżeli tylko wyróżnik Δ funkcji podpierwiastkowej jest większy lub równy zero możliwe jest zastosowanie pewnego podstawienia, lecz najpierw sprawdzić należy wartość wyróżnika Δ:

Równanie [40] [40]

Funkcję podpierwiastkową sprowadzić trzeba do postaci iloczynowej wyznaczając w tym celu pierwiastki owej funkcji:

Równanie [41] [41]

Panie i panowie oto postać iloczynowa funkcji podpierwiastkowej:

Równanie [42] [42]

Przyjąć należy następującą równość z parametrem t:

Równanie [43] [43]

Powyższą równość spotęgować należy i przekształcić w następujący sposób:

Równanie [44] [44]

Pochodna wyżej wyprowadzonej zależności:

Równanie [45] [45]

Rozpisać należy podstawienie dla pierwiastka z funkcji kwadratowej z mianownika całkowanej funkcji:

Równanie [46] [46]

Podstawienie i rozwiązanie:

Równanie [47] [47]