Obliczanie całek funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4288 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=ln x

Rozwiązanie:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int \ln x\,dx\begin{vmatrix} u=ln x du=\frac{1}{x}\,dx dv=dx v=\int\,dx=x \end{vmatrix}=x\cdot ln x-\int\frac{1}{x}\cdot x\,dx=x\cdot ln x-x+c

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=frac{ln^2x}{x}

Rozwiązanie:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int\frac{ln^2x}{x}\,dx\begin{vmatrix} ln x=t \frac{dx}{x}=dt \end{vmatrix}=\int t^2\,dt=\frac{1}{3}\cdot t^3=\frac{1}{3}\cdot ln^3x+c

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{\sqrt{2+ln x}}{x}

Rozwiązanie:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int\frac{\sqrt{2+ln x}}{x}\,dx\begin{vmatrix} t=2+ln x dt=\frac{dx}{x} \end{vmatrix}=\int\sqrt{t}\,dt=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{t^3}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{\left(2+ln^2x\right)^3}+c

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{1}{x\cdot\sqrt{1-ln x}}

Rozwiązanie:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int\frac{dx}{x\cdot\sqrt{1-ln x}}\begin{vmatrix} ln x=t \frac{dx}{x}=dt \end{vmatrix}=\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=arcsin t=arcsin ln x+c

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{e^\frac{1}{x}}{x^2}

Rozwiązanie:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int\frac{e^\frac{1}{x}}{x^2}\,dx\begin{vmatrix} \frac{1}{x}=t -\frac{1}{x^2}=dt \end{vmatrix}=-\int e^t\,dt=-e^t=-e^\frac{1}{x}+c

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=x\cdot e^{-x^2}

Rozwiązanie:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int x\cdot e^{-x^2}dx\begin{vmatrix} -x^2+1=t -2\cdot x\,dx=dt dx=-\frac{dt}{2\cdot x} \end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\cdot\int x\cdot e^t\cdot\frac{dt}{x}=-\frac{1}{2}\cdot e^t=-\frac{1}{2}\cdot e^{-x^2}+c

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=cos x\cdot e^{sin x}

Rozwiązanie:

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int cos x\cdot e^{sin x}\,dx\begin{vmatrix} t=sin x dx=cos x\,dx \end{vmatrix}=\int e^t\,dt=e^t=e^{sin x}+c

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{e^\frac{1}{x}}{x^2}

Rozwiązanie:

$f(x)=frac(e^x) / (2 * e^x + 1)$

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int\frac{e^x}{2\cdot e^x+1}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{2\cdot e^x\,dx}{2\cdot e^x+1}\begin{vmatrix} t=2\cdot e^x+1 dt=2\cdot e^x\,dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{2\cdot e^x} \end{vmatrix}=2\cdot\int\frac{2\cdot e^x}{t}\cdot\frac{dt}{2\cdot e^x}=2\cdot\ln|t|=2\cdot ln\left|2\cdot e^x+1\right|+c

Propozycje książek