Czworościany
Stronę tą wyświetlono już: 14947 razy
Czworościany należą do zacnej grupy brył zwanych ostrosłupami. Każdy szanujący się czworościan musi składać się z czterech trójkątnych ścian. Bryła ta nie ma przekątnych, ma za to cztery wierzchołki i sześć krawędzi. Ważną właściwością czworokątów jest to, że na każdym z nich można opisać kulę jak i weń wpisać kulę.

- A, B, C, D - wierzchołki czworościanu./li>
- h - wysokość czworościanu
- a, b, c - wektory opisujące krawędzie czworościanu zbiegające się w jednym jego wierzchołku.
Podstawowe wzory
Objętość czworościanu
Objętość czworościanu, gdy dane są wektory: a; b; c można obliczyć z wzoru omawianego w dziele Matematyka → Wektory → Obliczanie objętości prostych brył geometrycznych
![]() | [1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=\left|\frac{1}{6}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\circ\vec{c}\right|
Jeżeli dana jest wysokość h oraz wektory a i b to objętość można policzyć z wzoru:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=\left|\frac{1}{6}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot h\right|
W bardziej ogólnym przypadku jest to iloczyn pola powierzchni podstawy razy wysokości na nią spuszczonej:
Możliwe jest też wyznaczenie objętości za pomocą następującego wzoru:
gdzie tajemnicza Δ jest niczym innym jak wyznacznikiem następującej macierzy:
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\Delta = \left| \begin{matrix}0 & |BA|^2 & |CA|^2 & |DA|^2 & 1\\ |AB|^2 & 0 & |CB|^2 & |DB|^2 & 1\\ |AC|^2 & |BC|^2 & 0 & |DC|^2 & 1\\ |AD|^2 & |BD|^2 & |CD|^2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right|
Pole powierzchni bocznej
Gdy dane są wektory: a; b; c:
![]() | [6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
S=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|+\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|+\left|\vec{c}\times\vec{b}\right|+\left|\left[\vec{b}-\vec{a}\right]\times\left[\vec{c}-\vec{a}\right]\right|\right)
Promień kuli wpisanej w czworościan
gdzie V to objętość czworościanu, natomiast SA, SB, SC, SD to pola powierzchni boku, który nie zawiera wierzchołka wpisanego w indeksie dolnym.
Promień kuli opisanej na czworościanie
gdzie Γ jest równa wyznacznikowi następującej macierzy:
![]() | [9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\Gamma = \left| \begin{matrix}0 & |BA|^2 & |CA|^2 & |DA|^2 &\\ |AB|^2 & 0 & |CB|^2 & |DB|^2\\ |AC|^2 & |BC|^2 & 0 & |DC|^2 \\ |AD|^2 & |BD|^2 & |CD|^2 & 0 \end{matrix}\right|
Czworościan foremny
Zagadnienia związane z czworościanem foremnym zostały opisane na stronie czworoscian_foremny.
Zadania
Zadanie 1
Oblicz objętość czworościanu ABCD, którego bok DC jest jego wysokością, jeżeli dane są długości boków |DC| = 4 [cm]; |AD| = |BD| = 5 [cm]; |DC| = 4 [cm]; |AB| = 3 [cm].
Na podstawie powyższego opisu należy narysować sobie taki ostrosłup w sposób pokazany na poniższym rysunku.
Ponieważ długości krawędzi |AD| i |BD| mają taką samą wartość to trójkąty ACD i BCD są przystającymi trójkątami prostokątnymi, co wynika z faktu, że jeden z boków tego trójkąta jest wysokością ostrosłupa h. Z tego z kolei wynika, że odcinki |AC| i |BC| są sobie równe. Do obliczenia objętości potrzebne jest wyznaczenie pola powierzchni podstawy a tą można obliczyć korzystając z wzoru na pole powierzchni trójkąta gdy dane są wszystkie długości boków. Konieczne jest więc obliczenie długości c z wykorzystaniem starego dobrego twierdzenia Pitagorasa w następujący sposób:
![]() | [10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
a^2=c^2+h^2\Rightarrow c^2=a^2-h^2\Rightarrow c=\sqrt{a^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3
Tak szczęśliwie się jakoś złożyło, że długość boku c jest równa tyle co długość boku d, a więc w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, którego powierzchnię można obliczyć w następujący sposób:
Pozostało już tylko obliczenie objętości czworościanu ABCD:
![]() | [12] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=\frac{1}{3}\cdot P\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot 4=3\cdot\sqrt{3}
Zadanie 2
Czworościan foremny ABCD niczym drzewa za rządu PiS-u został ścięty w połowie swojej wysokości płaszczyzną równoległą do podstawy. Powstała w ten sposób bryła zawierająca podstawę oryginalnego ostrosłupa ma objętość równą V.
Obliczyć objętość ostrosłupa przed ścięciem.
Najpierw wypadałoby nieco rozrysować sytuację co też i z najdzikszą wręcz rozkoszą czynię na poniższym rysunku.
Istotną rolę w rozwiązaniu tego zadania odgrywa wzór [3] z strony Matematyka → Geometria → Bryły Platońskie, który określa związek pomiędzy wysokością h ostrosłupa foremnego a długością jego podstawy a w następujący sposób:
![]() | [13] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
h=a\cdot\frac{\sqrt {24}}{6}=\frac{\sqrt 6}{3}\cdot a\approx 0,8165\cdot a
oraz wzór [2] z tej samej strony określający zależność objętości od długości boku a czworościanu foremnego w następujący sposób:
Objętość V ściętego czworościanu jest znana, wiadomo też, że jest ona równa różnicy objętości dużego czworościanu o boku a i małego czworościanu o boku a1. Tym samym można zapisać następującą równość:
![]() | [15] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3-\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a_1^3
Przyjrzyjmy się teraz nieco łaskawszym okiem zależności [13], dzięki której można zapisać następującą zależność:
![]() | [16] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot a_1=\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot a\Rightarrow a_1=\frac{1}{2}\cdot a
Podstawiamy do równania [15] równanie [16] otrzymując tym samym:
![]() | [17] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3-\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{7}{8}\cdot\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3
Ponieważ szukamy:
więc: