Ostrosłupy

Stronę tą wyświetlono już: 23167 razy

Definicja ostrosłupa

Ostrosłupem jest każda bryła, której ściany boczne są trójkątami a jej podstawa wielokątem dowolnym. Wśród ostrosłupów wyróżnia się następujące grupy:

• ostrosłupy prawidłowe, których podstawa jest wielokątem foremnym a punkt przecięcia prostej prostopadłej do płaszczyzny podstawy przechodzącej przez wierzchołek tego ostrosłupa znajduje się w środku ciężkości podstawy, lub ściślej rzecz ujmując w środku okręgu opisanego na podstawie. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi;
• ostrosłup pochyły - to taki, w którym prosta prostopadła do płaszczyzny podstawy przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa nie przecina podstawy w środku jej ciężkości;

a)b)c)

ostrosłupy mające w podstawie n-kąt foremny nazywa się ostrosłupem n-kątnym.

Podstawowe wzory:

Wzory ogólne:

Objętość ostrosłupa dowolnego można obliczyć z następującego wzoru:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_p

gdzie:

• h - wysokość ostrosłupa;
• S_p - pole powierzchni podstawy.

Ostrosłypy o podstawie trójkąta (czworościany)

Wzory dla czworościanów, które jednocześnie są ostrosłupami można znaleźć na stronie Matematyka → Geometria → Czworościany.

Ostrosłupy o podstawie równoległościanu:

Jeżeli dane są trzy wektory a, b i c to objętość ostrosłupa o podstawie równoległoboku można obliczyć z wzoru następującej postaci:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\left|\frac{1}{3}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\circ\vec{c}\right|

Definicja ostrosłupa ściętego:

Ostrosłupem ściętym jest to ostrosłup, który został ścięty płaszczyzną równoległą do podstawy na wysokości h. Płaszczyzna powstała w ten sposób jest wielokątem podobnym do wielokąta podstawy, co z kolei oznacza, że stosunek odpowiednich dwóch boków podstawy górnej do odpowiadających im dwóch boków podstawy dolnej są sobie równe.

Na powyższej ilustracji zaznaczone długości boków podstaw muszą spełniać następującą równość, aby taka bryła mogła mieć zaszczyt nazywania się ostrosłupem ściętym:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}

W każdym ostrosłupie ściętym boki są trapezami.

Obliczanie objętości dowolnego ostrosłupa ściętego

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot\left(S_{p1}+S_{p2}+\sqrt{S_{p1}\cdot S_{p2}}\right)

gdzie:

• h - wysokość ostrosłupa ściętego;
• S_p1, S_p2 - pola powierzchni podstaw.