Kule, sfery i ich pochodne

Stronę tą wyświetlono już: 5242 razy

Definicje kuli i sfery

Kula jest to zbiór punktów, które zawierają się na i pod płaszczyzną sferyczną, która z kolei jest równo odległa o pewną wartość R od pewnego dowolnie obranego w przestrzeni o wymiarze co najmniej 3W punktu P.

Kula jest to bryła obrotowa, powstała w wyniku obrotu półokroła względem osi przechodzącej przez jego cięciwę o długości 2·R. Promień tego półokręgu jest równocześnie promieniem sferycznej powierzchni kuli.

Sfera to zbiór punktów równo odległych o pewną wartość R od pewnego dowolnie obranego punktu o wymiarze co najmniej 3W

Nierówności opisujące kulę

W kartezjańskim układzie współrzędnych kulę opisuje następująca nierówność:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\leqslant R^2

Gdzie:

• x₀, y₀, z₀ - współrzędne środka kuli;
• x, y, z - współrzędne punktu rozpatrywanego w nierówności;
• r - promień kuli.

W współrzędnych sferycznych:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}0\leq \varphi \leq 2\cdot\pi \\ 0\leq \theta\leq \pi \\ 0\leq r\leq R\end{cases}

Równania i nierówności opisujące sferę

W kartezjańskim układzie współrzędnych sferę można a czasem nawet i trzeba opisać następującą równością:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2= R^2

W układzie biegunowym są dwie nierówności i jedna równość o niespotykanej wręcz złożoności:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}0\leq \varphi \leq 2\cdot\pi \\ 0\leq \theta\leq \pi \\ r = R\end{cases}

Generowanie wykresu powierzchni sferycznej w programie wxMaxima

Podstawowe wzory dla kuli i sfery

Objętość kuli

Wzór na objętość kuli został wyprowadzony swego czasu na stronie Całki potrójne - obliczanie objętości i przyjmuje on postać następującą:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3

Pole powierzchni kuli i sfery

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=4\cdot\pi\cdot R^2

Odcinek kuli / czasza kuli

Odcinkiem kuli jest każda z dwóch części kuli, przedziabanaj niczym glizda szpadlem płaszczyzną przechodzącą przez jej bebechy. Płaszczyzna taka dzieli sferę na dwie części nazywane czaszami kuli.

Wzory dla odcinka kuli i czaszy kuli

Objętość odcinka kuli

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h+\frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h^3

Wzór na pole powierzchni czaszy

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=2\cdot \pi\cdot R\cdot h

Wzór na promień r podstawy odcinka kuli

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\sqrt{(2\cdot R-h)\cdot h}

Wycinek kuli

Wycinek kuli to części kuli, którą ogranicza powierzchnia boczna stożka prostego o wierzchołku znajdującym się w środku owej kuli.

Objętość wycinka kuli

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{2}{3}\cdot\pi\cdot R^2\cdot h

Warstwa kuli

Warsta kuli to zbiór punktów kuli znajdujących zawierający się pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami przecinającymi tę kulę.

Objętość warstwy kuli

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r_1^2\cdot h+\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r_2^2\cdot h+\frac{1}{6}\cdot \pi\cdot h^3

Komentarze