Obliczanie objętości

Stronę tą wyświetlono już: 2554 razy

Zadanie 1 Wyznaczyć wzór na objętość stożka o danej wysokości h oraz promieniu podstawy R.

Rozwiązanie:

Zerkając łaskawym okiem na rysunek 1 można zapisać następujący ogólny wzór na objętość stożka:

gdzie:

  • πr2 dz - elementarna objętość dV.
Rysunek pomocniczy do zadania 1
Rys. 1
Rysunek pomocniczy stożka z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Parametr r trzeba uzależnić od położenia danej objętości elementarnej dV od jego położenia z w następujący sposób:

Podstawienie i wyprowadzenie:

Zadanie 2 Wyznaczyć wzór na objętość stożka ściętego o danej wysokości h oraz promieniach Rg, Rd.

Rozwiązanie:

Jak w zadaniu 1 tak i tutaj obowiązuje wzór ogólny na objętość tym razem stożka ściętego:

gdzie:

  • πr2 dz - elementarna objętość dV.
Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 2
Rysunek pomocniczy stożka ściętego z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Promień r trzeba uzależnić od wymiarów stożka Rd, Rg oraz h jak również od położenia danej objętości elementarnej dV na osi z.

Podstawienie i wyprowadzenie:

Zadanie 3 Obliczyć objętość bryły obrotowej o zarysie funkcji

w przedziale od 0 do 2

Rozwiązanie:

Poprzez obrót powierzchni z rysunku 3 powstaje bryła, której zarys można obejrzeć z kolei na rysunku 4. Objętość bryły można obliczyć korzystając z wzoru [2] z strony Matematyka → Całki oznaczone → Podstawowe wzory.

Wykres funkcji <b>f(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>2</b>.
Rys. 3
Wykres funkcji f(x) w przedziale od 0 do 2.

Obliczenie objętości danej bryły obrotowej:

Przyjmując jako jednostkę cm można śmiało stwierdzić, że bryłka ma niewielką objętość.

Zarys kształtu bryły opisanej funkcją <b>f(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>2</b>.
Rys. 4
Zarys kształtu bryły opisanej funkcją f(x) w przedziale od 0 do 2.

Komentarze