Stronę tą wyświetlono już: 17119 razy
Obliczanie iloczynu wektorowego
Wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor 3W prostopadły do mnożonych wektorów. Operacja ta może być przeprowadzona jedynie na wektorach trójwymiarowych w następujący sposób:
gdzie:
- i, j, k - wersory osi x, y, z będące wektorami, których wartość jest równa 1 oraz jedna z składowych jest równa 1;
- bx; by; bz - składowe wektora b;
- cx; cy; cz - składowe wektora c;
- by⋅cz - bz⋅cy; bz⋅cx - bx⋅cz; bx⋅cy - by⋅cx - składowe wektora a.
Interpretacja graficzna
Długość wektora uzyskanego w wyniku mnożenia wektorowego wektorów b, c jest ściśle powiązana z kątem α zawartym pomiędzy wektorami b, c w następujący sposób:
Na rysunku 1 można obejrzeć przykładowy wynik mnożenia wektorowego wektorów a, b oraz wpływ kolejności argumentów operatora mnożenia wektorowego na wynik.

Wzór [2] jest oczywiście długością wektora a powstałego w wyniku iloczynu wektorowego dwóch wektorów b, c jednakże owa długość (jak się okazuje) jest równa liczbowo polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach b, c. Dla lepszego zrozumienia powodu zaistniałej sytuacji zerknąć należy na rysunek 2, na którym widać, że wzór [2] jest wzorem na pole powierzchni równoległoboku.

Jakby tego wszystkiego było mało, istnieje jeszcze iloczyn mieszany trzech wektorów b, c, d, którego wartość jest równa objętości V bryły zbudowanej na owych wektorach. Mieszany iloczyn wektorów ma następującą postać:
Pierwszy człon zależności [3] został rozpisany poprzez zastosowanie zamiast operatora mnożenia skalarnego wzoru [2] ze strony Matematyka: Wektory: Iloczyn skalarny, gdzie czynnik |d|⋅cos β jest wysokością bryły, natomiast |b×c| polem powierzchni jego podstawy. Podstawiając do członu drugiego zależności [3] równanie [2] uzyskuje się wzór na objętość bryły opisanej długościami krawędzi oraz kątami α, β. Dla lepszego zrozumienia powagi sytuacji owej warto rzucić łaskawym okiem na rysunek 3, gdzie wszystko rozpisane zostało graficznie.

Ponieważ objętość V zawsze będzie taka sama niezależnie od tego, którego boku pole powierzchni zostanie przemnożone przez jego wysokość, więc dla mnożenia mieszanego trzech wektorów b, c, d zachodzi następująca równość:
Odwracając kolejność mnożenia wektorowego w równaniu [4] objętość V równa się ujemnej wartości iloczynu mieszanego wektorów b, c, d:
Przyczynę zmiany znaku przy zmianie kolejności argumentów iloczynu wektorowego można zobaczyć na rysunku 4, gdzie dla wektorów b, c iloczyn skalarny jest równy iloczynowi wartości owych wektorów oraz sinusa kąta zakreślonego w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara od wektora będącego pierwszym argumentem iloczynu skalarnego do wektora będącego drugim argumentem iloczynu skalarnego. Tak więc, gdy liczony jest iloczyn skalarny b×c, wartość powstałego w ten sposób wektora jest dodatnia, ponieważ α≤180° więc sin α≥0, jednak dla iloczynu skalarnego c×b wartość uzyskanego wektora jest ujemna ponieważ 180°<γ≤360° więc sin γ<0.

Własności operatora mnożenia wektorowego dwóch wektorów:
- nieprzemienność:
- iloczyn wektorowy dwóch równoległych jak i takich samych wektorów jest równy zero;
- przemienność względem mnożenia wektora przez wartość liczbową:
Podwójny iloczyn wektorowy
Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów można rozpisać w następujący sposób:
Oczywiście powyższa równość wynika z zastosowania równania [1], które można a nawet trzeba rozpisać w następujący sposób:
Każdy z elementów ostatniego członu równania [7] stojących przy wersorach i, j, k można rozpisać w następujący sposób:
Uporządkujmy jeszcze ostatni człon równania [8]:
Wektory b, c można zapisać w następującej postaci:
Dziwnym zbiegiem okoliczności owa postać wektorów b, c występuje w ostatnim członie równania [9], dzięki czemu jego postać zmienia się w następujący sposób:
Z kolei iloczyn skalarny wektorów a, b oraz a, c można zapisać równością, wynikającą oczywiście z zastosowania ogólnego wzoru [1] ze strony Matematyka: Wektory: Iloczyn skalarny na iloczyn skalarny dwóch wektorów:
Ostatecznie więc, ostatni człon równania [10] zapisać można następująco:
Po tych wszystkich wnikliwych obliczeniach, z całą pewnością można zapisać równość pomiędzy mnożeniem wektorowym trzech wektorów a mnożeniem skalarnym: