Stronę tą wyświetlono już: 6801 razy

Macierzą Grama nazywa się iloczyn macierzy M składającej się ze zbioru n wektorów n wymiarowych oraz macierzy transponowanej M^T, których wynikiem jest macierz składająca się z iloczynów skalarnych zbioru owych wektorów. Zapis matematyczny macierzy Grama jest więc następujący:

[1]

gdzie:

• M - macierz, której kolumny składają się z wektorów a₁, a₂,... , a_n
• M^T - macierz transponowana macierzy M

Ważną własnością macierzy Grama jest jej wyznacznik, który jest równy kwadratowi n-wymiarowej objętości bryły zbudowanej na owych wektorach. W przypadku wektora 1W jest to kwadrat długości, w przypadku wektora 2W kwadrat pola powierzchni równoległoboku, w przypadku wektora 3W kwadrat objętości równoległościanu, itd. W oparciu o wcześniej omówione informacje można zapisać następującą równość pomiędzy wyznacznikiem dwóch wektorów 2W a wyznacznikiem macierzy Grama:

[2]

Wyznacznik macierzy Grama jest równy zero, gdy dla 1W wektora jego długość jest równa zero, dla 2W gdy wektory są równoległe, dla 3W gdy wektory leżą w jednej płaszczyźnie lub dwa z nich są równoległe itd.

Obliczenie wyznacznika macierzy Grama 2W:

[3]

Obliczenie wyznacznika macierzy Grama 3W:

[4]