Obrotu punktu 2W można dokonać za pomocą wektora kierunkowego, którego wartość nie może być równa zero. Kąt α zawarty pomiędzy wektorem kierunkowym a wersorem osi x stanowi kąt obrotu zadanego punktu. Konieczne jest uzyskanie dwóch wektorów jednostkowych: pierwszego równoległego do wektora kierunkowego, oraz drugiego prostopadłego do wektora kierunkowego. Jeżeli przez Vk oznaczyć wektor kierunkowy, to wartości wyżej wymienionych jednostkowych wektorów kierunkowych dane są następującymi zależnościami:
Wektory jednostkowe i', j' są wersorami nowego układu współrzędnych obróconego o kąt α zawarty między wektorem kierunkowym a wersorem osi x. W celu lepszego zrozumienia warto zerknąć na rysunek 1.
Rys. 1
Graficzna interpretacja wektora kierunkowego i wersorów i', j'.
Obrót danego wektora 2W realizuje się poprzez jego przemnożenie przez macierz kosinusów w następujący sposób:
Wzór [3] umożliwia transformację współrzędnych punktu P z układu współrzędnych xy do układu x'y', natomiast wzór [4] umożliwia odwrotną transformację. Obrócony punkt P w układzie współrzędnych xy przyjmuje współrzędne punktu P' otrzymanego przy użyciu wzoru [3].
Rys. 2
Animacja obrotu przykładowego obiektu za pomocą wektora kierunkowego.
Poszczególne klatki animacji wygenerowane w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:
Zapewne nie będzie dla nikogo wielkim zaskoczeniem jeśli powiem, że w podobny sposób można obrócić punktu 3W. Jedyną różnicą jest sposób że tak to ujmę pozyskiwania wersorów i', j', k'. Wektor kierunkowy Vk również w tym przypadku jest równoległy do wersora i', a więc wypadkowe owego wersora można obliczyć korzystając z wzoru [1]. Jeżeli wersor i' nie jest równy tożsamościowo wersorowi i, wtedy wersory j', k' można obliczyć w następujący sposób:
Co komu jednak z takiego obrotu? Odpowiedź jest prosta: dzięki takiej transformacji można obracać obiekt o zadany kąt względem dowolnie skierowanej osi, a to dlatego, że obierając za oś obrotu wektor kierunkowy i transformując go do współrzędnych układu primowanego ten wektor "ustawia się" w osi x a względem osi x to już wiadomo jak obracać. Wzór na obrót względem dowolnej osi danej wektorem V jest więc następujący:
[9]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\vec{V}'=M_c\,^T\cdot M_o\cdot M_c\cdot \vec{V}
Na poniższej animacji-rysunku można zobaczyć efekt obrotu obiektu względem osi danej wektorem o kąt α.
Rys. 3
Animacja obrotu przykładowego obiektu w 3W względem przykładowo obranej osi.
Poszczególne klatki animacji wygenerowane w programie wxMaxima
Animacja poskładana w programie Gimp
Zadanie 1
Obrócić wektor V1 wektorem kierunkowym V2.
Zacząć należy od wyznaczenia wersorów i2 oraz j2 wykorzystując w tym celu wzory [1] i [2].
Teraz, gdy wersory zostały wyznaczone, obliczyć należy macierz kosinusów Mc zgodnie z wzorem macierzy zawartej w równaniu [3].
Pozostało pomnożyć macierz kosinusów Mc z wektorem V1 zgodnie z wzorem [3]:
Zadanie 2
Obrócić wektor V3 o kąt zawarty pomiędzy wektorami V1 i V2.