Stronę tą wyświetlono już: 5490 razy

Obrotu punktu 2W można dokonać za pomocą wektora kierunkowego, którego wartość nie może być równa zero. Kąt α zawarty pomiędzy wektorem kierunkowym a wersorem osi x stanowi kąt obrotu zadanego punktu. Konieczne jest uzyskanie dwóch wektorów jednostkowych: pierwszego równoległego do wektora kierunkowego, oraz drugiego prostopadłego do wektora kierunkowego. Jeżeli przez V_k oznaczyć wektor kierunkowy, to wartości wyżej wymienionych jednostkowych wektorów kierunkowych dane są następującymi zależnościami:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{i}\,'=\vec{V}_k\cdot \frac{1}{\left|\vec{V}_k\right|}

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{j}\,'=\begin{bmatrix}-i_y\,'\\ i_x\,'\end{bmatrix}

Wektory jednostkowe i', j' są wersorami nowego układu współrzędnych obróconego o kąt α zawarty między wektorem kierunkowym a wersorem osi x. W celu lepszego zrozumienia warto zerknąć na rysunek 1.

Obrót danego wektora 2W realizuje się poprzez jego przemnożenie przez macierz kosinusów w następujący sposób:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{P}\,'=M_c\cdot \vec{P}=\begin{bmatrix}\vec{i}\circ \vec{i}\,' & \vec{i}\circ \vec{j}\,'\\ \vec{j}\circ \vec{i}\,' & \vec{j}\circ \vec{j}\,'\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}P_x\\ P_y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}P_x\cdot \vec{i}\circ \vec{i}\,'+P_y\cdot \vec{i}\circ \vec{j}\,'\\P_x\cdot \vec{j}\circ \vec{i}\,'+P_y\cdot \vec{j}\circ \vec{j}\,'\end{bmatrix}

Odwrotna transformacja również jest możliwa poprzez przemnożenie wektora P' przez transponowaną macierz kosinusów z równania [3]:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{P}=M_c^T\cdot \vec{P}=\begin{bmatrix}\vec{i}\circ \vec{i}\,' & \vec{j}\circ \vec{i}\,'\\ \vec{i}\circ \vec{j}\,' & \vec{j}\circ \vec{j}\,' \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}P_x\,'\\ P_y\,'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}P_x\cdot \vec{i}\circ \vec{i}\,'+P_y\cdot \vec{j}\circ \vec{i}\,'\\P_x\cdot \vec{i}\circ \vec{j}\,'+P_y\cdot \vec{j}\circ \vec{j}\,'\end{bmatrix}

Wzór [3] umożliwia transformację współrzędnych punktu P z układu współrzędnych xy do układu x'y', natomiast wzór [4] umożliwia odwrotną transformację. Obrócony punkt P w układzie współrzędnych xy przyjmuje współrzędne punktu P' otrzymanego przy użyciu wzoru [3].

Zapewne nie będzie dla nikogo wielkim zaskoczeniem jeśli powiem, że w podobny sposób można obrócić punktu 3W. Jedyną różnicą jest sposób że tak to ujmę pozyskiwania wersorów i', j', k'. Wektor kierunkowy V_k również w tym przypadku jest równoległy do wersora i', a więc wypadkowe owego wersora można obliczyć korzystając z wzoru [1]. Jeżeli wersor i' nie jest równy tożsamościowo wersorowi i, wtedy wersory j', k' można obliczyć w następujący sposób:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{j}\,'=\frac{vec{i}\times \vec{i}\,'}{\left|\vec{i}\times \vec{i},'\right|}

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{k}\,'=\frac{\vec{j}\,'\times \vec{i}\,'}{\left|\vec{j}\,'\times \vec{i}\,'\right|}

Gdy i jest równe tożsamościowo i' wtedy j'=j, k'=k.

Znając wartości poszczególnych wersorów w układzie primowanym można obliczyć współrzędne punktu P w następujący sposób:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{P}\,'=M_c\cdot \vec{P}=\begin{bmatrix}\vec{i}\circ \vec{i}\,' & \vec{i}\circ \vec{j}\,' & \vec{i}\circ \vec{k}\,'\\ \vec{j}\circ \vec{i}\,' & \vec{j}\circ \vec{j}\,' & \vec{j}\circ \vec{k}\,'\\ \vec{k}\circ \vec{i}\,' & \vec{k}\circ \vec{j}\,' & \vec{k}\circ \vec{k}\,'\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} P_x\\P_y\\P_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}P_x\cdot \vec{i}\circ \vec{i}\,' + P_y\cdot \vec{i}\circ \vec{j}\,'+P_z\cdot \vec{i}\circ \vec{k}\,'\\ P_x\cdot \vec{j}\circ \vec{i}\,' + P_y\cdot \vec{j}\circ \vec{j}\,'+P_z\cdot \vec{j}\circ \vec{k}\,'\\P_x\cdot \vec{k}\circ \vec{i}\,' + P_y\cdot \vec{k}\circ \vec{j}\,'+P_z\cdot \vec{k}\circ \vec{k}\,'\end{bmatrix}

Oczywiście odwrotny obrót lub transformacja współrzędnych jest również możliwa:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{P}\,=M_c^T\cdot \vec{P}\,'=\begin{bmatrix}\vec{i}\circ \vec{i}\,' & \vec{j}\circ \vec{i}\,' & \vec{k}\circ \vec{i}\,'\\ \vec{i}\circ \vec{j}\,' & \vec{j}\circ \vec{j}\,' & \vec{k}\circ \vec{j}\,'\\ \vec{i}\circ \vec{k}\,' & \vec{j}\circ \vec{k}\,' & \vec{k}\circ \vec{k}\,'\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} P_x\,'\\ P_y\,'\\ P_z\,'\end{bmatrix}=/begin{bmatrix}P_x\,'\cdot \vec{i}\circ \vec{i}\,' + P_y\,'\cdot \vec{j}\circ \vec{i}\,'+P_z\,'\cdot \vec{k}\circ \vec{i}\,'\\ P_x\,'\cdot \vec{i}\circ \vec{j}\,' + P_y\,'\cdot \vec{j}\circ \vec{j}\,'+P_z\,'\cdot \vec{k}\circ \vec{j}\,'\\ P_x\,'\cdot \vec{i}\circ \vec{k}\,' + P_y\,'\cdot \vec{k}\circ \vec{j}\,'+P_z\,'\cdot \vec{k}\circ \vec{k}\,'\end{bmatrix}

Co komu jednak z takiego obrotu? Odpowiedź jest prosta: dzięki takiej transformacji można obracać obiekt o zadany kąt względem dowolnie skierowanej osi, a to dlatego, że obierając za oś obrotu wektor kierunkowy i transformując go do współrzędnych układu primowanego ten wektor "ustawia się" w osi x a względem osi x to już wiadomo jak obracać. Wzór na obrót względem dowolnej osi danej wektorem V jest więc następujący:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{V}'=M_c\,^T\cdot M_o\cdot M_c\cdot \vec{V}

Na poniższej animacji-rysunku można zobaczyć efekt obrotu obiektu względem osi danej wektorem o kąt α.

Zadanie 1

Obrócić wektor V₁ wektorem kierunkowym V₂.

Zacząć należy od wyznaczenia wersorów i₂ oraz j₂ wykorzystując w tym celu wzory [1] i [2].

Teraz, gdy wersory zostały wyznaczone, obliczyć należy macierz kosinusów M_c zgodnie z wzorem macierzy zawartej w równaniu [3].

Pozostało pomnożyć macierz kosinusów M_c z wektorem V₁ zgodnie z wzorem [3]:

Zadanie 2

Obrócić wektor V₃ o kąt zawarty pomiędzy wektorami V₁ i V₂.

Obliczanie wersorów dla wektora V₁:

Obliczanie wersorów dla wektora V₂:

Wyliczam macierz kosinusów M_c:

Obracanie wektora V₃: