Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 3892 razy

Najprostszy przypadek efektu Dopplera

Każdy z nas kiedyś słyszał, jak przejeżdżająca na sygnale karetka czy też radiowóz policyjny zmienia natężenie dźwięku w trakcie mijania. Zjawisko to jako pierwszy zauważył Christian Andreas Doppler. W zrozumieniu tego zjawiska może pomóc poniższa ilustracja, pokazująca jak fala akustyczna generowana przez poruszające się źródło dźwięku rozchodzi się w nieruchomym ośrodku.

Graficzna dwuwymiarowa interpretacja rozchodzenia się fali akustycznej generowanej przez poruszający się obiekt z prędkością mniejszą od prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku, w którym ten się przemieszcza
Rys. 1
Graficzna dwuwymiarowa interpretacja rozchodzenia się fali akustycznej generowanej przez poruszający się obiekt z prędkością mniejszą od prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku, w którym ten się przemieszcza
Źródło:
Wikimedia Commons - grafika svg dostępna w Domenie Publicznej

Na podstawie powyższej ilustracji można stwierdzić jednoznacznie, że obiekt, który wygenerował pokazane na niej fale akustyczne poruszał się w prawo. Znając skalę związaną z tą grafiką oraz prędkość rozchodzenia się dźwięku w ośrodku, dla którego została ona wygenerowana można by było określić również prędkość tego obiektu. Jednakże, aby wyjaśnić dlaczego jest to możliwe trzeba najpierw rozpatrzyć najprostszy z możliwych przypadków i ustawić obserwatora na linii ruch obiektu.

Rozpatrywany najprostszy przypadek zmiany odległości pomiędzy obserwatorem a źródłem dźwięku
Rys. 2
Rozpatrywany najprostszy przypadek zmiany odległości pomiędzy obserwatorem O a źródłem dźwięku Z, gdzie Vz jest wektorem prędkości źródła dźwięku.

Długość fali, jaką będzie odbierał obserwator O, gdy źródło będzie się zbliżało do niego ulegnie skróceniu o odległość równą:

wartość skrócenia długości fali akustycznej [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l=V_z\cdot T

co oznacza, że długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora wynosi:

Długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora O [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lambda_O=\lambda_z-V_z\cdot T

Częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O można więc wyliczyć w następujący sposób:

Częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f_O=\frac{V}{\lambda_O}=\frac{V}{\lambda_z-V_z\cdot T}

gdzie:

  • λZ - długość fali akustycznej związanej z przemieszczającym się obiektem;
  • λO - długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora O;
  • fO - częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O;
  • V - prędkość rozprzestrzeniania się dźwięku w danym ośrodku;
  • VZ - prędkość przemieszczania się źródła dźwięku;
  • T - okres fali akustycznej.

Długość fali akustycznej λZ można zastąpić następującą zależnością:

zależność długości fali akustycznej od jej prędkości i częstotliwości [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lambda_z=\frac{V}{f_Z}

gdzie:

  • λZ - długość fali akustycznej związanej z poruszającym się źródłem;
  • V - prędkość dźwięku w danym ośrodku;
  • fZ - częstotliwość dźwięku związana z jego źródłem.

Okres T z kolei można zastąpić następującą zależnością:

okresu T od częstotliwości dźwięku [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

T=\frac{1}{f_Z}

Podstawiając zależności [4] i [5] do [3] otrzymuje się następującą zależność:

Wzór na częstotliwość odbieraną przez nieruchomego obserwatora stojącego na linii ruch obiektu [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f_O=\frac{V\cdot f_Z}{V-V_Z}

Gdy obserwator O stoi idealnie na linii ruchu źródła dźwięku to powyższy wzór jest prawdziwy a jego liniowa natura każe stwierdzić, że najniższą częstotliwość dźwięku jaką można odczytać z rysunku 1 wyznacza również kierunek ruchu obiektu.

Przypadek trudniejszy efektu Dopplera

Chyba nikogo nie muszę przekonywać, że stanie na drodze źródła dźwięku jakim jest przejeżdżająca karetka nie jest najszczęśliwszym pomysłem. W związku z czym praktycznie zawsze obserwator nie stoi na drodze źródła dźwięku a w pewnej odległości od prostej, po której to źródło się porusza (tak jak to pokazane zostało na poniższej ilustracji).

Przypadek nieco bardziej złożony efektu Dopplera
Rys. 3
Przypadek nieco bardziej złożony efektu Dopplera

Na powyższej ilustracji obserwatora O umieściłem w środku układu współrzędnych, natomiast w pewnej chwili t0 = 0 poruszające się źródło dźwięku Z znajduje się w punkcie PZ. Prędkość VZ źródła Z jest wielkością wektorową. Teraz można określić zależność zmiany położenia źródła Z po czasie t:

Zmiana położenia źródła dźwięku w zależności od czasu [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{P(t)}=\vec{V}\cdot t+\vec{P_0}

Długość wektora P(t) wyznacza odległość l(t) pomiędzy obserwatorem O a źródłem Z, czyli:

Zmiana odległości obserwator - źródło [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l(t)=\left|\vec{P(t)}\right|=\left|\vec{V}\cdot t+\vec{P_0}\right|=\sqrt{(V_x\cdot t+P_{0x})^2+(V_y\cdot t+P_{0y})^2}

Pochodna l(t) po czasie t to nic innego jak prędkość zmiany odległości obserwator O - źródło Z, a więc:

Zmiana odległości obserwator - źródło [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_Z(t)=\frac{d\,l(t)}{dt}=\frac{2\cdot V_y\cdot\left( t\cdot V_y+P_{0y}\right) +2\cdot V_x\cdot\left( t\cdot V_x+P_{0x}\right) }{2\cdot\sqrt{{\left( t\cdot V_y+P_{0y}\right) }^{2}+{\left( t\cdot V_x+P_{0x}\right) }^{2}}}

W powyższym wzorze VZ(t) jest to prędkość zbliżania się źródła Z do obserwatora O zmieniająca się w czasie.

Zakładając pewne przykładowe wartości:

V_Z=begin{bmatrix} -10 \ 0end{bmatrix} left[frac{m}{s}right];, P_0=begin{bmatrix} 10 \ 5end{bmatrix}[m];,f_z=60[Hz];V=100left[frac{m}{s}right]

Wzór VZ(t) po podstawieniu wyżej wymienionych wartości upraszcza się do postaci:

Zmiana prędkości zbliżania się obserwator - źródło [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=-\frac{10\cdot\left(10-10\cdot t\right)}{\sqrt{{\left( 10-10\cdot t\right)}^{2}+25}}

Wykres powyższej funkcji z znakiem przeciwnym pokazany został na poniższym wykresie.

Zmiana prędkości zbliżania się źródła do obserwatoraVz(t) [m/s]Vz(t) [m/s]t [s]-9-6-30369-10-8-6-4-20246810VZ (t) = 10 · (10 - 10 · t)/(sqrt((10-10 · t)2 +25)) [m/s]
Rys. 4
Zmiana prędkości zbliżania się źródła do obserwatora
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Funkcja opisująca zmianę odległości l(t) wygląda następująco:

Zmiana odległości obserwator - źródło [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l(t)=\sqrt{{\left( -10\cdot t+10\right) }^{2}+25}

Natomiast jej wykres pokazany został na poniższej ilustracji.

Zmiana odległości źródła do obserwatora po czasiel [s]l [s]t [s]20406080100-10-8-6-4-20246810l(t) = sqrt((-10 · t + 10)2 + 25) [m]
Rys. 5
Zmiana odległości źródła do obserwatora po czasie
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Warto podstawić wzór [8] do wzoru [6] by uzyskać zależność zmiany częstotliwości fO(t). Pamiętać należy jednak, że wzór [8] zwraca prędkość ujemną gdy obiekt się zbliża natomiast w wzorze [6] powinno się podstawiać w takim przypadku wartość dodatnią prędkości z czego wynika, że trzeba zmienić znak w wzorze [8] na przeciwny, by uzyskać po odpowiednim uproszczeniu taki oto wzór:

Zmiana częstotliwości po czasie [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\mathrm{f_o}\left( t\right) =\frac{60\cdot\sqrt{100\cdot{t}^{2}-200\cdot t+125}}{\sqrt{100\cdot {t}^{2}-200\cdot t+125}+t-1}
Zmiana częstotliwościfo(t) [Hz]fo(t) [Hz]t [s]565860626466-10-8-6-4-20246810fo (t)[Hz]
Rys. 6
Zmiana częstotliwości fo(t) dźwięku odbieranego przez obserwatora O
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W
Layout wykonany przez autora strony, wszelkie prawa zastrzeżone. Jakiekolwiek użycie części lub całości grafik znajdujących się na tej stronie bez pisemnej zgody jej autora surowo zabronione.