Granica ciągu

Stronę tą wyświetlono już: 1688 razy

Wstęp

W celu poprawnego zrozumienia dalszej części tej strony, należy zrozumieć istotę zdania prawie wszystkie wyrazy ciągu, które oznacza elementy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczy wyrazów. Jest to istotne, gdyż w dalszej części tej strony dla uproszczenia (skrócenia) niektórych definicji będę posługiwał się zdaniem prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Granica właściwa ciągu

Liczba q jest granicą ciągu nieskończonego (a_n), jeżeli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (a_n), co zapisuje się:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n\rightarrow g

lub

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g

Matematyczny zapis powyższej definicji granicy właściwej ciągu:

Matematyczny zapis definicji granicy właściwej ciągu

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g\Leftrightarrow \bigwedge_{\varepsilon> 0}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}|a_n-g|<\varepsilon

Graficzna interpretacja definicji pokazana została na poniższym rysunku, gdzie jak widać poniżej wartości ϵ = 40 znajduje się nieskończona liczba elementów tego ciągu z czego wynika, iż ciąg ten ma granicę właściwą.

Rys. 1

Przykład ciągu posiadającego granicę właściwą g

Źródło:

Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Każdy ciąg, który ma granicę właściwą jest ciągiem zbieżnym, natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.

Granica niewłaściwa ciągu

Ciąg (a_n) jest rozbieżny → +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są większe od M, co zapisuje się:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty

Zapis matematyczny powyższej definicji:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n>M

Poniżej pokazana została interpretacja graficzna powyższej definicji dla przykładowego ciągu. Jak widać prawie wszystkie elementy tegoż ciągu leżą powyżej obranej wartości M = 3. Co ważne, niezależnie od tego jaką wartość przyjmie M i tak zawsze nieskończona liczba elementów tego ciągu będzie się nad nią mieściła.

Rys. 1

Przykład ciągu posiadającego granicę niewłaściwą w +∞

Źródło:

Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Ciąg a_n jest rozbieżny → -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są mniejsze od M, co zapisuje się:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty

Zapis matematyczny powyższej definicji:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n

Jeżeli dany jest ciąg (a_n), dla którego wartości bezwzględnej granica jest równa &infty; dla n → &infty; to granica ciągu odwrotego będzie równa 0 co zapisać można w następujący sposób:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=0

Jeżeli dany jest ciąg (a_n), którego każdy element jest większy od zera i granica takiego ciągu jest równa zero to granica ciągu odwrotnego tego ciągu będzie równa +∞ co zapisać można w następujący sposób: