Twierdzenia o zbieżności ciągów liczbowych

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4368 razy

Twierdzenie o ciągach monotonicznych

Twierdzenie dla ciągów niemalejących

Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest ciągiem zbieżnym.

Graficzna interpretacja tego twierdzenia została pokazana na poniższym rysunku, gdzie granicą ciągu niemalejącego (an) jest pewna liczba a, dla której dla dowolnego ε > 0 znajdzie się takie m ∈ N+, takie że każdy element o indeksie nm będzie spełniał nierówność am > a - ε.

-60-40-2002040600246810Elementy ciągu niemalejącegoa - granica ciągua-ε
Rys. 1
Graficzna interpretacja twierdzenia o ciągach monotonicznych dla ciągu niemalejącego
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Twierdzenie dla ciągów nierosnących

Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest ciągiem zbieżnym.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z każdego ciągu liczbowego ograniczonego można wybrać dowolny podciąg zbieżny.

Warunek Cauchy'ego zbieżności ciągów

Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 i każdego n0∈N+ każdy element ciągu o indeksie n>n0 i m > n0 spełnia warunek |an - am| < ε, co zapisuje się następująco:

matematyczny zapis warunku Cauchy'ego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\bigwedge_{\varepsilon> 0}\bigvee_{n_0\in N^+}\bigwedge_{n> n_0}\bigwedge_{m> n_0}|a_n-a_m|<\varepsilon

Dla lepszego zrozumienia, niechaj dany będzie ciąg (an) następującej postaci:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=\frac{1}{n}

i ciąg (bn), którego elementy składają się z wartości bezwzględnej z różnicy dwóch kolejnych elementów ciągu (an):

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b_n=|a_n-a_{n+1}|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right|

to gdy ciąg (bn) jest zbieżny (a w tym przypadku jest) to ciąg (an) też jest zbieżny.

00.20.40.60.811.20246810Elementy ciągu an Elementy ciągu bn 0 - granica ciągu bn ε
Rys. 1
Graficzna interpretacja twierdzenia o ciągach monotonicznych dla ciągu niemalejącego
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W
Propozycje książek
tytuł: Matematyka w uczeniu maszynowym autor: Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

Tytuł:

Matematyka w uczeniu maszynowym

Autor:

Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

tytuł: Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie autor: Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:

Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie

Autor:

Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

tytuł: Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny autor: Amit Saha

Tytuł:

Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny

Autor:

Amit Saha

tytuł: Matematyka dla menedżerów. Wydanie II autor: Michael C. Thomsett

Tytuł:

Matematyka dla menedżerów. Wydanie II

Autor:

Michael C. Thomsett

tytuł: Matematyka Poradnik encyklopedyczny autor: I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:

Matematyka Poradnik encyklopedyczny

Autor:

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

tytuł: Matematyka finansowa autor: Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:

Matematyka finansowa

Autor:

Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

tytuł: Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem autor: Liz Strachan

Tytuł:

Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem

Autor:

Liz Strachan

tytuł: O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty autor: Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:

O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty

Autor:

Witold Sadowski, Wiktor Bartol

tytuł: Matematyka dla biologów autor: Dariusz Wrzosek

Tytuł:

Matematyka dla biologów

Autor:

Dariusz Wrzosek

tytuł: Matematyka dla programistów Java autor: Jacek Piechota

Tytuł:

Matematyka dla programistów Java

Autor:

Jacek Piechota

W związku z tym, że firma Helion nie wywiązuje się z swoich zobowiązań naliczania prowizji za każdą zakupioną książkę a kontakt z ową frmą jest nie możliwy autor strony zmuszony został do zablokowania linkowania książek. Za wszelkie niedogodności z tym związane z góry przepraszam i obiecuję włączenie linkowania gdy tylko sprawa zostanie wyjaśniona