Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa

Stronę tą wyświetlono już: 14014 razy

Rozwiązywanie układów równań liniowych możliwe jest poprzez zastosowanie metody eliminacji Gaussa. Metoda ta sprowadza macierz danego układu równań do macierzy jednostkowej lub macierzy trójkątnej z jednoczesnym wyznaczeniem wartości niewiadomych x₁, x₂, ... , x_n.

[1]

Z współczynników stojących przy niewiadomych oraz wyrazów wolnych należy utworzyć macierz:

[2]

gdzie:

• a_1,1, ... , a_n,n - odpowiadają współczynnikom stojącym przy niewiadomych x₁, x₂, ... , x_n;
• a_{1, n+1}, a_{2, n+1}, ... , a_n,n+1 - odpowiadają wyrazom wolnym z układu równań [1].

Przekształcenie powyższej macierzy do macierzy trójkątnej górnej odbywa się etapowo w dwóch krokach, które realizowane są dla wartości i zmieniającej się od 1 do n:

1. Podzielić i-ty wiersz macierzy przez odwrotność jej argumentu a_i,i w następujący sposób:

   [3]

   Przykład dla i=1:

2. Dla każdego wiersza o indeksie k takim że i<k≤n odjąć otrzymany wiersz W_i' przemnożony przez argument a_i,k:

   [4]

   Przykład dla k= 2, ... , n:

   Aby zredukować do zera argumenty macierzy znajdujące się nad przekątną główną należy operację odejmowania przeprowadzić dla k∈{1, 2, ..., n}{i}.

Macierz powstała w wyniku jednokrotnego wykonania kroków 1, 2 stanowi dane wejściowe dla następnego cyklu. W początkowej fazie, dla i=1 dane wejściowe stanowi macierz [2].

Po przeprowadzeniu wszystkich etapów dla i=1, 2, ... , n otrzymana zostanie następująca macierz trójkątna górna:

[5]

gdzie:

• b_i,j - argumenty macierzy otrzymane po przeprowadzeniu metody eliminacji Gaussa na macierzy [2]

Wartość niewiadomej x_n układu równań [1] po przeprowadzeniu metody eliminacji Gaussa jest równa:

[6]

natomiast kolejne niewiadome o indeksach i=n-1, n-2, ... , 1 obliczyć można za pomocą następującego wzoru:

[7]

Przykład

Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa do postaci macierzy trójkątnej górnej następujący układ równań:

Zacząć należy od utworzenia macierzy:

Etap pierwszy dla i = 1

Krok pierwszy - podzielenie pierwszego wiersza przez a_1,1

Krok drugi - odjęcie od wierszy 2, 3, 4 wiersza pierwszego pomnożonego odpowiednio przez współczynniki a_2,1, a_3,1, a_4,1.

Ponieważ argument a_2,2 uzyskanej macierzy jest równy 0, konieczna jest zamiana miejscami wiersza drugiego z trzecim w następujący sposób:

Etap drugi dla i=2

Krok pierwszy - podzielenie drugiego wiersza przez a_2,2

Krok drugi - odjęcie od wierszy 3, 4 wiersza drugiego pomnożonego odpowiednio przez współczynniki a_3,2, a_4,2, jednakże wiersz trzeci można pominąć, ponieważ argument a_3,2=0.

Etap trzeci dla i=3

Krok pierwszy - podzielenie wiersza trzeciego przez argument a_3,3

Krok drugi - odjęcie od wiesza czwartego wiersza trzeciego pomnożonego przez współczynnik a_4,3.

Etap czwarty dla i=4

Krok pierwszy - podzielenie wiersza czwartego przez argument a_4,4

Kroku drugiego nie ma i nie będzie, ponieważ brak jest wierszy do przeliczenia.

Według wzoru [6] niewiadoma x₄ jest równa:

Pozostałe niewiadome można obliczyć według wzoru [7].

Można zredukować do zera argumenty macierzy znajdujące nad przekątną główną macierzy uzyskanej w kroku czwartym za pomocą trzech etapów otrzymując w ten sposób w ostatniej kolumnie wartości niewiadomych x₁, x₂, x₃, x₄.

Etat pierwszy - od wierszy 1, 2, 3 odjąć wiersz czwarty pomnożony odpowiednio przez współczynniki a_1,4, a_2,4, a_3,4.

Etap drugi - od wierszy 1, 2 odjąć wiersz trzeci pomnożony odpowiednio przez współczynniki a_1,3, a_2,3.

Etap trzeci - od wiersza pierwszego odjąć wiersz drugi pomnożony przez współczynnik a_1,2.

Ponieważ swego czasu zrobiłem program, który w przebiegły sposób wykorzystuje metodą eliminacji Gausa do rozwiązywania liniowych układów równań, więc użyję go tutaj do rozwiązania tego samego układu równań podając mu na wejście następujące dane:

by program po chwili wypluł na powierzchnię ekranu następujący wynik:

Jak widać powyżej, program nie tylko rozwiązuje ale i rozpisuje kolejne etapy.

Przykład do samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedź:

Załączniki: