Stronę tą wyświetlono już: 46610 razy
Podstawowe definicje:Kratownica - układ nieważkich prętów połączonych węzłami, który może być obciążony jedynie siłami skupionymi w jej węzłach. Kratownice można podzielić na płaskie i przestrzenne.
Węzeł - punkt, w którym pręty kratownicy łączą się.
Pręt - element leżący pomiędzy dwoma węzłami kratownicy.
Kratownica płaska jest statycznie wyznaczalna, gdy jest możliwe wyznaczenie jej reakcji za pomocą równań równowagi, oraz gdy podwojona liczba węzłów w kratownicy jest równa sumie liczby prętów p oraz reakcji r kratownicy. Wynika to z faktu, że dla każdego węzła kratownicy płaskiej możliwe jest napisanie dwóch statycznych równań równowagi (suma rzutów sił na oś X i suma rzutów sił na oś y), natomiast liczba niewiadomych do wyznaczenia jest równa liczbie prętów i reakcji, które trzeba wyznaczyć aby możliwe było obliczenie sił w prętach.
Gdy prawa strona równania [1] jest większa od lewej, kratownica jest niedosztywniona (czyli jest mechanizmem), w przeciwnym przypadku kratownica jest przesztywniona (statycznie niewyznaczalna).
Zadanie 1
Wyznaczyć reakcje kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 1 i obliczyć siły występujące w jej prętach.
Dane:
Rozwiązanie:
Wyznaczenie reakcji podpór kratownicy za pomocą statycznych równań równowagi:
Teraz należy obliczyć siły w prętach kratownicy. W tym przypadku najlepiej zacząć od dowolnego węzła, w którym łączą się dwa pręty i kolejno rozpisując układy równań równowagi dla poszczególnych węzłów wyznaczać siły w prętach (kąty pomiędzy prętami kratownicy biegnącymi w na ukos są równe 60 i 30 stopni co wynika z rysunku 1).
![]() | |
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
Dodatkowe równanie, które stanowi jedynie sprawdzenie poprawności obliczenia siły S6: |
![]() |
Dodatkowe równanie, które stanowi jedynie sprawdzenie poprawności obliczenia sił S2, S3, S5 oraz S7: |
Zadanie 2
Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 2.
Dane:
Rozwiązanie:
Równania równowagi dla wyznaczenia reakcji podpór (kąty pomiędzy prętami kratownicy biegnącymi w poprzek są równe 45° co wynika z rysunku 2):
Równania równowagi dla węzła A:
Równania równowagi dla węzła 3:
Równania równowagi dla węzła 1:
Równanie równowagi dla węzła 2:
Siła S7=0 ponieważ pręt w którym owa siła występuje nie przenosi żadnego obciążenia.
Równania równowagi dla węzła 4:
Równanie sprawdzające poprawność obliczeń:
Równanie równowagi dla węzła B sprawdzające poprawność obliczeń:
Zadanie 3 - do samodzielnego rozwiązania.
Wyznaczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 3.
Dane:
Odpowiedzi:
Reakcje podpór:
Siły w prętach kratownicy można odczytać z rysunku 4.

Zadanie 4
Wyznaczyć siły w prętach 6, 7, 8 kratownicy statycznie wyznaczalnej z zadania 3.Rozwiązanie:
Można oczywiście wyliczyć siły w prętach kratownicy metodą analityczną równoważenia węzłów (jak w zadaniach 1, 2 i 3), jednak nie oto chodzi żeby się katować niepotrzebnymi obliczeniami. Istnieje metoda przekrojów Rittera, która umożliwia szybkie wyznaczenie sił w wybranych prętach. Są jednak pewne ograniczenia, przekrój musi przecinać trzy pręty oraz wszystkie pręty nie mogą zbiegać się w jednym węźle. Jak wynika z rysunku 3, pręty w których siły należy wyliczyć spełniają te kryteria.
Po przecięciu kratownicy do wyboru do koloru mamy dwie możliwości:
liczyć siły w prętach z lewej strony przekroju kratownicy w następujący sposób (pomijam wyliczanie reakcji, ponieważ to była część zadania 3):
Suma momentów względem punktu I: |
Suma momentów względem punktu II:
Suma rzutów sił na oś Y:
lub z prawej strony przekroju kratownicy w analogiczny sposób:
Suma momentów względem punktu I |
Suma momentów względem punktu II:
Suma rzutów sił na oś Y:
Zadanie 5
Obliczyć metodą przekrojów Rittera siły S2, S6 i S5 prętów kratownicy z zadania 2.
Zadanie 6
Obliczyć reakcje podpór i siły w trzech dowolnych prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 5. Odległość pomiędzy sąsiadującymi węzłami kratownicy w poziomie i pionie jest taka sama i równa się 1 m. Siły dane zostały na rysunku.
Sprostowanie: nie jestem na tyle szalony, aby liczyć taką kratownicę ręcznie, ale na tyle szalony, aby napisać własny program, który tę kratownicę rozwiązał za mnie, narysował i pręty pokolorował. Mało tego, ten sam program rozpisał równania dla poszczególnych węzłów, których tutaj nie przytoczę, bo w końcu to jest część zadania.
Zadanie 7
Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 6. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie i pionie węzłami wynosi 1 m.
Układy równań:
Węzeł: 1
Węzeł: 2
Węzeł: 3
Węzeł: 4
Węzeł: 5
Węzeł: 6
Zadanie 8
Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 7. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie i pionie węzłami wynosi 1 m.
Układy równań:
Węzeł: 1
Węzeł: 2
Węzeł: 3
Węzeł: 4
Węzeł: 5
Węzeł: 6
Węzeł: 7
Węzeł: 8
Zadanie 9
Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 8. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie 1 m a w pionie 1,5 m.

Węzeł: 1
Węzeł: 2
Węzeł: 3
Węzeł: 4
Węzeł: 5
Węzeł: 6
Węzeł: 7
Węzeł: 8
Węzeł: 9
Węzeł: 10
Węzeł: 11
Węzeł: 12
Węzeł: 13
Węzeł: 14
Węzeł: 15
Zadanie 10
Oblicz reakcje sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 9, w której odległość pomiędzy prętami pionowymi wynosi 1 m a długości prętów pionowych wynosi: L7=L10=100, L9=L12=145, L14=L18=170, L20=180.
Równania:
Węzeł: 1
Węzeł: 2
Węzeł: 3
Węzeł: 4
Węzeł: 5
Węzeł: 6
Węzeł: 7
Węzeł: 8
Węzeł: 9
Węzeł: 10
Węzeł: 11
Węzeł: 12
Węzeł: 13
Węzeł: 14
Zadanie 11
Oblicz reakcje sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 10, w której odległość pomiędzy sąsiadującymi węzłami w poziomie i pionie wynosi 1 m.
Równania:
Węzeł: 1
Węzeł: 2
Węzeł: 3
Węzeł: 4
Węzeł: 5
Węzeł: 6
Węzeł: 7
Węzeł: 8
Węzeł: 9
Węzeł: 10
Węzeł: 11
Węzeł: 12
Węzeł: 13
Węzeł: 14
Węzeł: 15
Węzeł: 16
Węzeł: 17
Węzeł: 18