Stronę tą wyświetlono już: 12418 razy

Wstęp

Bardzo często w programowaniu stosuje się macierze transformacji, które umożliwiają wykonywanie operacji:

• translacji (przemieszczenia) - operacja zawsze odwracalna;
• obrotu - operacja zawsze odwracalna;
• skalowania - operacja nieodwracalna w niektórych przypadkach, np. gdy wartość skali dla dowolnej osi jest równa 0;
• pochylanie - operacja nieodwracalna w niektórych przypadkach;
• odbicie lustrzane - operacja zawsze odwracalna

Ogólny zapis macierzy transformacji dla 2W obiektów

Dla przykładu rozpatrzmy macierz transformacji stosowanej w programowaniu dla grafiki 2W:

[1]

gdzie:

• m_{1, 1} - w przypadku obrotu to kosinus kąta obrotu, w przypadku skalowania na osi x ta wartość jest mnożona przez współczynnik skali;
• m_{1, 2} - w przypadku obrotu to minus sinus kąta obrotu, w przypadku pochylenia wzdłuż osi x określa pochylenie;
• m_{2, 1} - w przypadku obrotu to sinus kąta obrotu, w przypadku pochylenia wzdłuż osi y określa pochylenie;
• m_{2, 2} - w przypadku obrotu to kosinus kąta obrotu, w przypadku skalowania na osi y ta wartość jest mnożona przez współczynnik skali;
• dx - przemieszczenie (przesunięcie) na osi x;
• dy - przemieszczenie (przesunięcie) na osi y

Obliczanie macierzy odwrotnej M_tr^-1

Nie każdą macierz można odwrócić, wynika to z poniższego wzoru na macierz odwrotną macierzy M_tr:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{tr}^{-1}=\begin{bmatrix} \cfrac{m_{2,2}}{m_{1,1}\cdot m_{2,2}-m_{1,2}\cdot m_{2,1}} & -\cfrac{m_{1,2}}{m_{1,1}\cdot m_{2,2}-m_{1,2}\cdot m_{2,1}} & \cfrac{dy\cdot m_{1,2}-dx\cdot m_{2,2}}{m_{1,1}\cdot m_{2, 2} -m_{1,2}\cdot m_{2,1}} \\ -\cfrac{m_{2,1}}{m_{1,1}\cdot m_{2,2}-m_{1,2}\cdot m_{2,1}} & \cfrac{m_{1,1}}{m_{1,1}\cdot m_{2,2}-m_{1,2}\cdot m_{2,1}} & \cfrac{dx\cdot m_{2,1}-dy\cdot m_{1,1}}{m_{1,1}\cdot m_{2,2}-m_{1,2}\cdot m_{2,1}} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

W powyższym wzorze, łatwo zauważyć, że w mianowniku powtarza się to samo wyrażenie, którym jest wyznacznik macierzy transformacji M_tr:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|M_{tr}\right| = m_{1,1}\cdot m_{2, 2} -m_{1,2}\cdot m_{2,1}

Teraz wzór [2] upraszcza się do nieco ładniejszej postaci:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{tr}^{-1}=\begin{bmatrix} \cfrac{m_{2,2}}{\left|M_{tr}\right|} & -\cfrac{m_{1,2}}{\left|M_{tr}\right|} & \cfrac{dy\cdot m_{1,2}-dx\cdot m_{2,2}}{\left|M_{tr}\right|} \\ -\cfrac{m_{2,1}}{\left|M_{tr}\right|} & \cfrac{m_{1,1}}{\left|M_{tr}\right|} & \cfrac{dx\cdot m_{2,1}-dy\cdot m_{1,1}}{\left|M_{tr}\right|} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Macierz transformacji M_tr jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wartość wyznacznika macierzy transformacji M_tr ≠ 0.

Operacja transformacji punktu

Jeżeli dana jest macierz transformacji M_tr, to iloczyn tej macierzy razy wektor umożliwia pozyskanie punktu poddanego procesowi transformacji:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vac{P'} = M_{tr} \cdot \vec{P}=\begin{bmatrix} m_{1,1} & m_{1,2} & dx\\ m_{2,1} & m_{2,2} & dy\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x \\ y \\ 1\end{bmatrix}

Odwrotna operacja jest możliwa, gdy spełniony jest warunek, że współczynnik a z wzoru [3] ≠ 0. W takim przypadku prawdziwa jest zależność:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vac{P} = M_{tr}^{-1} \cdot \vec{P'}=\begin{bmatrix} \cfrac{m_{2,2}}{\left|M_{tr}\right|} & -\cfrac{m_{1,2}}{\left|M_{tr}\right|} & \cfrac{dy\cdot m_{1,2}-dx\cdot m_{2,2}}{\left|M_{tr}\right|} \\ -\cfrac{m_{2,1}}{\left|M_{tr}\right|} & \cfrac{m_{1,1}}{\left|M_{tr}\right|} & \cfrac{dx\cdot m_{2,1}-dy\cdot m_{1,1}}{\left|M_{tr}\right|} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x' \\ y' \\ 1\end{bmatrix}

Składanie macierzy obrotu względem zadanego punktu

W celu uzyskania macierzy obrotu konieczne jest przemnożenie trzech następujących macierzy:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{rot(dx, dy, \alpha)} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -dx \\ 0 & 1 & -dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \\ \sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Powyższy wzór mnoży macierz przesunięcia razy macierz obrotu i razy macierz powrotnego przesunięcia. W ten sposób otrzymana macierz przemnożona przez wektor P obraca go o kąt α względem puntu o współrzędnych dx i dy.

Macierz skalowania

Macierz skalowania wygląda następująco:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{scale(sx, sy)}=\begin{bmatrix} sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Można również skalować względem obranego punktu składając poprzez wymnożenie następujące macierze:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{scale(dx, dy, sx, sy)}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -dx \\ 0 & 1 & -dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Macierz pochylania

Na pochylanie pozwala macierz następującej postaci:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{shear(sh, sv)}=\begin{bmatrix} 1 & sh & 0 \\ sv & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

gdzie:

• sh - pochylenie poziome;
• sv - pochylenie w poziomie

Odbicie lustrzane

Macierz odbicia lustrzanego względem osi x wygląda dość banalnie:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{mirror_x}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Macierz odbicia lustrzanego względem osi y:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{mirror_y}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Odbicie lustrzane względem osi przechodzącej przez środek układu współrzędnych i pochylonej o α stopnie względem osi x:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

M_{mirror(\alpha, x)}= \begin{bmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) & 0 \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos\,\alpha & -\sin\,\alpha & 0 \\ \sin\,\alpha & \cos\,\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Mieszanie wszystkich transformacji

Wszystkie obiekty mogą być przechowywane jako seria punktów oraz macierz transformacji M_tr, na którą mogą się składać w zasadzie nieskończone ilości wykonywanych wcześniej operacji. Co jest jednak ważne to to, że aby dana operacja była odwracalna, wyznacznik macierzy transformacji M_tr nie może być równy 0. Warto też nadmienić, że w takim układzie punkty obiektu opisywanego nie są modyfikowane i przechowywane są w pierwotnej nie zmienionej postaci. Dopiero gdy ów obiekt jest rysowany obliczany jest iloczyn tychże punktów i macierzy transformacji.