Układy przestrzenne statycznie wyznaczalne

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 15332 razy

Zadanie 1

Wyznaczyć siły w nieważkich prętach przestrzennego układu prętowego z rysunku 1.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 24
Rys. 1
Rysunek układu przestrzennego obciążonego siłą Q.

Dane:

/alpha = 45^{o}; /beta = 60^{o}; P[kN]

Rozwiązanie:

Równania równowagi rzutów sił na osie:

Równanie [1] [1]
Równanie [2] [2]
Równanie [3] [3]

Zadanie 2

Wyznaczyć siły w nieważkich prętach podtrzymujących trójkątną płytę o ciężarze Q jak na rysunku 2.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 2
Rys. 2
Rysunek układu przestrzennego obciążonego płytą o ciężarze Q.
Rysunek płyty do zadania 2
Rys. 3
Rysunek z wymiarami płyty.

Dane:

a=2[m]; b=1[m]; c=1/frac{1}{2}[m]; Q=1[kN]

Rozwiązanie:

W pierwszej kolejności trzeba obliczyć środek ciężkości powierzchni górnej płyty, w którym znajduje się punkt przyłożenia siły jej ciężkości. Środek ciężkości dla powierzchni trójkątnych wyznaczyć można poprzez obliczenie średniej arytmetycznej z współrzędnych x i y wierzchołków trójkąta.

Równanie [4] [4]
Równanie [5] [5]

Teraz można napisać równania równowagi dla sumy momentów skręcających względem osi x, y oraz sumy rzutów sił na oś Z:

Równanie [6] [6]
Równanie [7] [7]
Równanie [8] [8]

Zadanie 3

Wyznaczyć siły w nieważkich prętach podtrzymujących prostopadłościan obciążony siłą Q jak na rysunku 4.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 3
Rys. 4
Rysunek układu przestrzennego obciążonego siłą Q.

Dane:

a=1[m]; b=3[m]; c=4[m]; /alpha = 45^{o}; Q=100[kN]

Rozwiązanie:

W tego typu zadaniach ważne jest poprawne obranie środka układu współrzędnych, tak aby możliwe było jak najłatwiejsze wyznaczenie sił w prętach. Podstawowe równania równowagi, jakie należy sporządzić to oczywiście sumy rzutów sił na osie: X, Y i Z. Następne trzy równania to suma momentów względem osi X, Y oraz Z. Ważne jest aby pamiętać, że jedynie wektory nie przecinające danej osi wywołują moment obrotowy wokół niej. Również wektory równoległe do danej osi nie dają momentu.

Równania równowagi momentów względem poszczególnych osi:

Równanie [9] [9]
Równanie [10] [10]
Równanie [11] [11]

Równania równowagi rzutów sił na osie:

Równanie [12] [12]
Równanie [13] [13]
Równanie [14] [14]

Jak wynika z obliczeń, całe obciążenie rozłożyło się na trzech prętach.

Zadanie 4

Wyznaczyć siły w nieważkich prętach podtrzymujących prostopadłościan obciążony siłami Q i momentem M jak na rysunku 5.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 4
Rys. 5
Rysunek układu przestrzennego obciążonego siłami Q i momentem M.

Dane:

a[m]; Q[kN]

Rozwiązanie:

Równania równowagi momentów obrotowych względem poszczególnych osi:

Równanie [15] [15]
Równanie [16] [16]
Równanie [17] [17]

Równania równowagi rzutów sił na osie:

Równanie [18] [18]
Równanie [19] [19]
Równanie [20] [20]

Zadanie 5

Płyta o ciężarze Q spoczywa na sześciu nieważkich prętach jak na rysunku 6. Wyznaczyć siły w prętach.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 5
Rys. 6
Rysunek układu przestrzennego obciążonego płytą o ciężarze Q.

Dane:

a[m]; Q[kN]

Rozwiązanie:

Równania równowagi:

Równanie [21] [21]
Równanie [22] [22]
Równanie [23] [23]
Równanie [24] [24]
Równanie [25] [25]
Równanie [26] [26]

Zadanie 6

Płyta o ciężarze Q spoczywa na sześciu nieważkich prętach jak na rysunku 7. Wyznaczyć siły w prętach.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 6
Rys. 7
Rysunek układu przestrzennego obciążonego płytą o ciężarze Q.

Dane:

a[m]; Q[kN]

Rozwiązanie:

Równania równowagi:

Równanie [27] [27]
Równanie [28] [28]
Równanie [29] [29]
Równanie [30] [30]
Równanie [31] [31]
Równanie [32] [32]

Zadanie 7

Układ sześciu nieważkich prętów z rysunku 8 obciążony został siłami Q, wyliczyć siły w prętach tego układu.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 7
Rys. 8
Rysunek układu przestrzennego obciążonego siłami Q.

Dane:

a[m]; Q[kN]

Rozwiązanie:

Równania równowagi dla węzła II:

Równanie [33] [33]
Równanie [34] [34]
Równanie [35] [35]

Równania równowagi dla węzła I:

Równanie [36] [36]
Równanie [37] [37]
Równanie [38] [38]

Zadanie 8

Układ sześciu nieważkich prętów z rysunku 9 obciążony został siłami Q, wyliczyć siły w prętach tego układu.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 31
Rys. 9
Rysunek układu przestrzennego obciążonego siłami Q.

Dane:

a[m]; /alpha=45^o; Q[kN]

Rozwiązanie:

Równania równowagi dla węzła I:

Równanie [39] [39]
Równanie [40] [40]
Równanie [41] [41]

Równania równowagi dla węzła II:

Równanie [42] [42]
Równanie [43] [43]
Równanie [44] [44]

Zadanie 9

Prostokątna płyta o ciężarze Q zamocowana jest na dwóch łożyskach poprzecznych i nieważkim cięgnie jak na rysunku 10. Obliczyć reakcje łożysk i siłę w pręcie podtrzymującym płytę.

Rysunek układu przestrzennego do zadania 9
Rys. 10
Rysunek układu przestrzennego obciążonego ciężarem Q prostokątnej płyty.

Dane:

a[m]; /alpha=45^o; Q[kN]

Rozwiązanie:

Równanie [45] [45]
Równanie [46] [46]
Równanie [47] [47]
Równanie [48] [48]
Równanie [49] [49]