Obliczenia pochodnych funkcji z definicji

Stronę tą wyświetlono już: 1849 razy

Obliczyć za pomocą wzoru [2] z działu Matematyka → Pochodna funkcji pochodne następujących funkcji:

Pochodna funkcji a:

Pochodna funkcji z podpunktu a

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x+\Delta\right) -f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left(x+\Delta x\right)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2\cdot x\cdot\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\cdot x\cdot\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}2\cdot x+\Delta x=2\cdot x

Pochodna funkcji b:

Pochodna funkcji z podpunktu b

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x+\Delta\right) -f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{3\cdot\left(x+\Delta x\right)^2-3\cdot x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{3\cdot x^2+6\cdot x\cdot\Delta x+3\cdot \Delta x^2-3\cdot x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{6\cdot x\cdot\Delta x+3\cdot \Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}6\cdot x+3\cdot \Delta x=6\cdot x

Pochodna funkcji c:

Pochodna funkcji z podpunktu c

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right) -f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x+1-x-1}{\Delta x}=1

Pochodna funkcji d:

Pochodna funkcji z podpunktu d

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right) -f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}\cdot\frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x\cdot\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}

Pochodna funkcji e:

Pochodna funkcji z podpunktu e

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x+Delta x\right) -f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin \left(x+\Delta x\right)-sin{x}}{\Delta x}

Do dalszych obliczeń konieczna jest znajomość wzoru [14] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne. Ów wzór zostanie wykorzystany do rozpisania licznika ułamka funkcji pochodnej zapisanej powyżej.

Pochodna funkcji z podpunktu e

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\cdot sin \left(\cfrac{x+\Delta x-x}{2}\right)\cdot cos\left(\cfrac{x+\Delta x+x}{2} \right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\cdot sin \left(\cfrac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}\cdot cos\left(x+\cfrac{\Delta x}{2} \right)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin \left(\cfrac{\Delta x}{2}\right)}{\cfrac{\Delta x}{2}}\cdot cos\left(x+\cfrac{\Delta x}{2}\right)=1\cdot cos{x}=cos x

W analogiczny sposób należy postąpić w przypadku funkcji f, z tą tylko różnicą, że zastosowany tutaj jest wzór [15] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne:

Pochodna funkcji z podpunktu f

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{cos \left(x+\Delta x\right)-cos{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-2\cdot sin \left(\cfrac{x+\Delta x-x}{2}\right)\cdot sin\left(\cfrac{x+\Delta x+x}{2}\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-2\cdot sin \left(\cfrac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}\cdot sin\left(x+\cfrac{\Delta x}{2}\right)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{sin \left(\cfrac{\Delta x}{2}\right)}{\cfrac{\Delta x}{2}}\cdot sin\left(x+\cfrac{\Delta x}{2}\right)=-1\cdot sin{x}=-sin x

Komentarze