Całki potrójne - obliczanie objętości

Stronę tą wyświetlono już: 8245 razy

Zadanie 1 Wyprowadzić wzór na objętość kuli.

Rysunek pomocniczy do kuli umożliwiający wyznaczenie wzoru na jej objętość
Rys. 1
Rysunek pomocniczy kuli z naniesionymi wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Objętość elementarnego wycinka kuli dV można zapisać wzorem:

gdzie:

  • r - długość elementarnego wycinka kuli;
  • r⋅cosθ - szerokość elementarnego wycinka kuli;
  • dr - wysokość elementarnego wycinka kuli.

Granice całkowania:

Wyznaczenie wzoru na objętość V kuli:

Zadanie 2 Wyznaczyć wzór na objętość stożka o podanej wysokości H i promieniu podstawy R.

Rysunek pomocniczy do zadania 2
Rys. 2
Rysunek pomocniczy stożka z naniesionymi wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Elementarna objętość dV:

gdzie:

  • r - szerokość elementarnego wycinka stożka;
  • dr - długość elementarnego wycinka stożka;
  • dz - wysokość elementarnego wycinka stożka.

Zależność promienia r od jego położenia na osi z oraz wysokości H i promienia podstawy R stożka:

Granice całkowania:

Wyprowadzenie wzoru na objętość V stożka:

Zadanie 3 Wyznaczyć wzór na objętość stożka ściętego o danej wysokości H i promieniach RD, RG.

Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 3
Rysunek pomocniczy stożka ściętego z naniesionymi wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Objętość dV elementarnego wycinka stożka ściętego:

Zależność promienia r od jego położenia na osi z oraz od wysokości H i promieni RD, RD stożka ściętego:

Granice całkowania:

Wyprowadzenie wzoru na objętość V stożka ściętego:

Zadanie 4 Obliczyć objętość bryły ograniczonej od dołu funkcją:

zaś od góry funkcją:

nad obszarem całkowania 0x4 oraz 0y2.

Wykres funkcji <b>f(x,y)</b>, <b>g(x,y)</b> w przedziale całkowania.
Rys. 4
Wykres funkcji f(x,y), g(x,y) w przedziale całkowania.

Rozwiązanie:

Przedziały całkowania:

Obliczenie objętości V:

Zadanie 5 Obliczyć objętość walca o promieniu R=1 ściętego od dołu funkcją:

zaś od góry funkcją:

Przedziały całkowania w współrzędnych kartezjańskich:

Jak widać nie zanosi się na łatwe obliczenia, chyba że zamieni się współrzędne kartezjańskie na walcowe. W tym celu warto zapisać zależność funkcyjną współrzędnych x, y, z od współrzędnych walcowych r, α, z:

Ogólny wzór na jakobian przekształcenia:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

J(u,v,w)=\begin{vmatrix} c\frac{\partial x}{\partial u} && \cfrac{\partial x}{\partial v} & \cfrac{\partial x}{\partial w}\\ \cfrac{\partial y}{\partial u} && \cfrac{partial y}{partial v} & cfrac{partial y}{partial w}\\ \cfrac{\partial z}{\partial u} & \cfrac{\partial z}{\partial v} & \cfrac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}

W tym przypadku u=r, v=α, w=z, w związku z czym jakobian dla współrzędnych walcowych przyjmuje następującą postać:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

J(r,alpha,z)=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial r} && \cfrac{\partial x}{\partial \alpha} && \cfrac{\partial x}{\partial z}\\ \cfrac{\partial y}{\partial r} && \cfrac{\partial y}{\partial \alpha} && \cfrac{\partial y}{\partial z}\\ \cfrac{\partial z}{\partial r} && \cfrac{\partial z}{\partial \alpha} && \cfrac{\partial z}{\partial z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\alpha && -rcdotsinalpha && 0\\ \sin\alpha && r\cdot\cos\alpha && 0\\ 0 && 0 && 1 \end{vmatrix}=r\cdot\cos^2\alpha+r\cdot\sin^2\alpha=r

Wzór na zamianę całki w jednym układzie współrzędnych na całkę w drugim układzie współrzędnych:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

intintint_Omega f(x,y,z),dx,dy,dz=intintint_U f(u,v,w)cdot J(u,v,w),du,dv,dw

w tym przypadku funkcja gęstości nas nie interesuje tylko objętość V ściętego walca więc wartość owej funkcji musi się równać 1 a co za tym idzie również funkcja f(u,v,w)=1.

Przedziały całkowania w układzie współrzędnych sferycznych:

W ostatnim przedziale całkowania dla zmiennej z należy podstawić za x funkcję x(r, α, z), za y funkcję x(r, α, z):

Rozwiązanie:

Zadanie 6 Obliczyć objętość walca o promieniu R=1 ściętego od dołu funkcją:

zaś od góry funkcją:

Na rysunku 5 można obejrzeć wykres funkcji g(x,y), f(x,y).

Wykres funkcji <b>f(x,y)</b>, <b>g(x,y)</b>.
Rys. 5
Wykres funkcji f(x,y), g(x,y).

Rozwiązanie:

Przedziały całkowania we współrzędnych walcowych:

Po uproszczeniu granic całkowania dla zmiennej z:

Obliczenie objętości V:

Komentarze