Bryły Platońskie

Stronę tą wyświetlono już: 960 razy

Bryły Platońskie należą do dość szczególnego rodzaju brył, które spełniają następujące warunki:

  • da się na takiej bryle opisać sferę;
  • da się w taką bryłę wpisać sferę;
  • wszystkie boki bryły są przystającymi wielokątami foremnymi.

Spełnienie powyższych warunków wymusza również fakt, że każda bryła tego typu będzie należała do zbioru brył wypukłych. Na podstawie powyższych warunków można stwierdzić, że istnieje jedynie 5 brył Platońskich, a są nimi:

  1. czworościan foremny tetraedr - składa się z czterech boków o kształcie trójkąta równobocznego;
  2. sześcian foremny heksaedr - składa się z sześciu boków o kształcie kwadratu;
  3. ośmiościan foremny oktaedr - składa się z ośmiu boków o kształcie trójkąta równobocznego;
  4. dwunastościan foremny dodekaedr - składa się z dwunastu boków o kształcie pięciokąta foremnego;
  5. dwudziestościan foremny ikosaedr - składa się z dwudziestu boków o kształcie trójkąta równobocznego.
a)Ilustracja czworościanu foremnego (tetraedr-u)b)Ilustracja sześciany foremnego (heksaedr-u)c)Ilustracja ośmiościanu foremnego (oktaedr-u)d)Ilustracja dwunastościanu foremnego (dodekaedr-u)e)Ilustracja czworościanu foremnego (ikosaedr-u)
Rys. 1
Bryły Platońskie zwane foremnymi, kolejno od lewej: a) czworościan foremny (tetraedr); b) sześcian foremny (heksaedr); c) ośmiościan foremny (oktaedr); d) dwunastościan foremny (dodekaedr); e) dwudziestościan foremny (ikosaedr).
Źródło:
Powyższe ilustracje zostały zaczerpnięte z bezkresnych zasobów Wikimedia Commons i są dostępne kolejno pod następującymi linkami: tetraedr; heksaedr; octaedr; dodekaedr i ikosaedr

Czworokąt foremny tetraedr

Tetraedr - Leonardo da VinciTetraedr - Leonardo da Vinci
Rys. 2
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej tetraedr

Podstawowe cechy

Bryła ta ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki a podstawowe jej parametry fizyczne można wyliczyć znając długość krawędzi boków a w następujący sposób:

pole powierzchni wszystkich boków czworościanu:

Wzór na pole powierzchni wszystkich boków czworościanu foremnego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\sqrt{3}~a^2\approx 1,7321~a^2

objętość bryły:

Wzór na objętość czworościanu foremnego [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}} {12}~ {a^3}\approx 0,1179~a^3

wysokość h:

Wzór na wysokość czworościanu foremnego [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=a~\frac{\sqrt {24}}{6}=\frac{\sqrt 6}{3}~a\approx 0,8165~a

kąt α nachylenia krawędzi względem ściany, której krawędzią ona nie jest:

Kąt nachylenia krawędzi względem ściany czworościanu foremnego, która nie jest jego krawędzią [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{3}\approx 54,7356^{\circ}"/> name="[4]

Promień R kuli opisanej na czworościanie foremnym:

Wzór na promień kuli opisanej na czworościanie foremnym [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{\sqrt{6}} {4}~a\approx 0,6124~a

Promień r kuli wpisanej w czworościanu foremnego:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{\sqrt{6}} {12}~a\approx 0,2041~a

Promień δ kuli stycznej do krawędzi czworościanu foremnego:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{1}{4}\cdot a\cdot\sqrt{2}

Kąt między ścianami czworokąta:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\beta=\arcsin\frac{\sqrt{8}}{3}\approx 70,53^{\circ}

Siatka czworościanu foremnego

Stosowane są dwie wersje rozwinięcia siatki czworościanu, obie pokazane zostały na poniższym rysunku.

Rozwinięcie siatki czworościanu foremnego - wersja 1Rozwinięcie siatki czworościanu foremnego - wersja 2
Rys. 3
Dwie wersje rozwinięcia siatki czworościanu foremnego

Sześcian foremny heksaedr

Heksaedr - Leonardo da VinciHeksaedr - Leonardo da Vinci
Rys. 4
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej heksaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 6-ciu przystających ścian kwadratowych, 12-stu krawędzi, 8-miu wierzchołków i czterech przekątnych.

Podstawowe wzory:

Objętość sześcianu:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=a^3

Pole powierzchni sześcianu:

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=6\cdot a

Wzór na promień r kuli wpisanej w sześcian foremny:

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a}{2}

Wzór na promień R kuli opisanej na sześcianie foremnym:

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt{3}

Wzór na promień δ kuli stycznej do krawędzi sześcianu foremnego:

Równanie [13] [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}

Wzór na długość przekątnej sześcianu:

Równanie [14] [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=a\cdot\sqrt{3}

Siatka sześcianu foremnego

Siatka sześcianu foremnego
Rys. 5
Siatka sześcianu foremnego

Ośmiościan foremny oktaedr

Oktaedr - Leonardo da VinciOktaedr - Leonardo da Vinci
Rys. 6
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej oktaedr

Podstawowe cechy

Bryła ta składa się z ośmiu ścian o kształcie trójkąta równobocznego, 12-stoma krawędzi, 6 wierzchołków oraz 3-ech przekątnych.

Podstawowe wzory:

Objętość ośmiościanu foremnego:

Równanie [15] [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}} {3}~a^3\approx 0,4714~a^3

Pole powierzchni bocznej:

Równanie [16] [16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=2\sqrt{3}~a^2\approx 3,4641~a^2

Promień r kuli wpisanej w ośmiokąt foremny:

Równanie [17] [17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {6}\sqrt{6}\approx 0,4082~a

Promień R kuli opisanej na ośmiościanie foremnym:

Równanie [18] [18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a} {2}\sqrt{2}\approx 0,7071~a

Promień δ kuli stycznej do krawędzi ośmiościanu foremnego:

Równanie [19] [19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a}{2}

Wysokość h określająca odległość pomiędzy równoległymi ścianami ośmioboku foremnego:

Równanie [20] [20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=\frac{a} {3}\sqrt{6}\approx 0,8165~a

Długość przekątnej p ośmiościanu foremnego:

Równanie [21] [21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=a\sqrt{2}\approx 1,4142~a

Kąt pomiędzy ścianami:

Równanie [22] [22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha =2~\operatorname{arcsin}\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 109^{\circ}

gdzie Φ oznacza liczbę złotą, której wartość wynosi około: 1,6180339887...

Siatka ośmiościanu foremnego

Siatka ośmiościanu foremnego - wersja 1Siatka ośmiościanu foremnego - wersja 2
Rys. 7
Dwie wersje siatki ośmiościanu foremnego

Dwunastościan foremny dodekaedr

Dodekaedr - Leonardo da VinciDodekaedr - Leonardo da Vinci
Rys. 8
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej dodekaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 12-stu przystających ścian w kształcie pięciokąta foremnego, 30-stu krawędzi, 20-stu wierzchołków.

Podstawowe wzory:

Wzór na objętość:

Równanie [23] [23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{5\cdot \Phi^2}{6-2\cdot\Phi}\cdot a=\frac{1} {4}~a^3~(15+7\sqrt{5})\approx 7,6613~a^3\delta=\frac{a\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)}{4}

Wzór na pole powierzchni bocznej:

Równanie [24] [24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\frac{15\cdot\Phi}{\sqrt{3-\Phi}}=3\cdot a^2~\sqrt{5\cdot (5+2\sqrt{5})}\approx 20,6457~a^2

Wzór na promień r kuli wpisanej w dwunastościan foremny:

Równanie [25] [25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {20}\sqrt{10(25+11\sqrt{5})}\approx 1,1135~a

Wzór na promień R kuli opisanej na dwunastościanie foremnym:

Równanie [26] [26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a} {4}~\sqrt{3}~(1+\sqrt{5})\approx 1,4013~a

Wzór na promień δ kuli stycznej do krawędzi dwunastościanu foremnego:

Równanie [27] [27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)}{4}

Dwunastościan foremny można wpisać w dwudziestościan foremny w sposób pokazany na rysunku 10

Dwunastościan foremnyDwunastościan foremny wpisany w dwudziestościan foremny
Rys. 9
Po lewej: dwudziestościan foremny; po prawej: dwunastościan foremny wpisany w dwudziestościan

Siatka dwunastościanu foremnego

Siatka dwunastościanu foremnego
Rys. 10
Siatka dwunastościanu foremnego

Stosunek długości krawędzi dwudziestościanu foremnego do dwunastościanu wynosi:

Równanie [28] [28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{\Phi}{\sqrt{5}}

Kąt pomiędzy ścianami dwunastościanu foremnego wynosi:

Równanie [29] [29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=116,6^{\circ}

Dwudziestościan foremny ikosaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 20-stu przystających boków w kształcie trójkąta foremnego, 30 krawędzi, 12 wierzchołków i 15 płaszczyzn symetrii.

Podstawowe wzory:

Objętość bryły:

Równanie [30] [30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{5\cdot\Phi^2}{6}=\frac{5} {12}\cdot a^3~(3+\sqrt{5})\approx 2,1817\cdot a^3

Powierzchnia boczna:

Równanie [31] [31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=5\cdot a^2\sqrt{3}\approx 8,6603\cdot a^2

Promień r kuli wpisanej w dwudziestościan foremny:

Równanie [32] [32]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {12}\cdot\sqrt{3}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\approx 0,7558\cdot a

Promień R kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym:

Równanie [33] [33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{10+2\cdot\sqrt{5}}\approx 0,9511\cdot a

Promień δ styczny do krawędzi dwudziestościanu foremnego:

Równanie [34] [34]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a\cdot\left(1+\sqrt{5}\right)}{4}

Wysokość h pomiędzy równoległymi płaszczyznami dwudziestościanu foremnego:

Równanie [35] [35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=2\cdot r=\frac{a}{6}\cdot\sqrt{3}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\approx 1,5115\cdot a

Ciekawostką niech będzie fakt, że dwudziestościan foremny da się opisać na trzech wzajemnie się przecinających pod kątem 90° prostokątach złotych tak jak widoczne jest to na poniższym rysunku.

Dwudziestościan foremny opisany na trzech wzajemnie się przecinających pod kątem pod kątem 90° prostokątach złotych
Rys. 11
Dwudziestościan foremny opisany na trzech wzajemnie się przecinających pod kątem pod kątem 90° prostokątach złotych

Siatka dwudziestościanu foremnego

Siatka dwudziestościanu foremnego
Rys. 12
Siatka dwudziestościanu foremnego

Komentarze