Podstawowe twierdzenia o pochodnych funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 1191 razy

Pochodna iloczynu stałej c i funkcji f(x) jest równa iloczynowi stałej c i pochodnej funkcji f(x).

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left[c\cdot f(x)\right]'=c\cdot f'(x)

Przykład

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left[2\cdot x^4\right]'=2\cdot \left(x^4\right)'=2\cdot 4\cdot x^3=8\cdot x^3

Pochodna funkcji f(x) będącej sumą funkcji składowych g(x), h(x) jest równa sumie pochodnych funkcji składowych. To samo twierdzenie stosuje się dla różnicy funkcji składowych, z czego wynika, że pochodna jest rozdzielna względem operatorów dodawania i odejmowania.

[2]

[3]

Przykład

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left[2\cdot x^4\right]'=2\cdot \left(x^4\right)'=2\cdot 4\cdot x^3=8\cdot x^3

Pochodna funkcji f(x) składającej się z iloczynu funkcji g(x), h(x) jest równa sumie iloczynu pochodnej funkcji g(x) i niezmienionej funkcji h(x) oraz iloczynu niezmienionej funkcji g(x) i pochodnej funkcji h(x).

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[g(x)\cdot h(x)\right]'=g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)

Przykład

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left[x^2\cdot sin(x)\right]'=2\cdot x\cdot sin x+x^2\cdot cos x

Pochodna iloczynu funkcji składowych g(x), h(x)

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]'=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}

Przykład

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[\frac{x^2}{sin x}\right]'=\frac{2\cdot x\cdot sin x-x^2 \cdot cos x}{sin ^2 x}

Pochodna funkcji złożonej f(x)=g[h(x)] jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej g[h(x)] oraz funkcji wewnętrznej h(x).

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[g(h(x))\right]'=g'\left[h(x)\right]\cdot h'(x)

Przykład

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[\sin \left(x^2\right)\right]'=\cos \left(x^2\right)\cdot 2\cdot x

Komentarze