Podstawowe twierdzenia o pochodnych funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 858 razy

Pochodna iloczynu stałej c i funkcji f(x) jest równa iloczynowi stałej c i pochodnej funkcji f(x).

Pochodna iloczynu stałej c i funkcji f(x) [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left[c\cdot f(x)\right]'=c\cdot f'(x)

Przykład

left[2cdot x^4right]'=2cdot left(x^4right)'=2cdot 4cdot x^3=8cdot x^3

Pochodna funkcji f(x) będącej sumą funkcji składowych g(x), h(x) jest równa sumie pochodnych funkcji składowych. To samo twierdzenie stosuje się dla różnicy funkcji składowych, z czego wynika, że pochodna jest rozdzielna względem operatorów dodawania i odejmowania.

Rozdzielność pochodnej względem dodawania [2]
Rozdzielność pochodnej względem odejmowania [3]

Przykład

left(x^4+x^3-x+1right)'=4cdot x^3+3cdot x^2-1

Pochodna funkcji f(x) składającej się z iloczynu funkcji g(x), h(x) jest równa sumie iloczynu pochodnej funkcji g(x) i niezmienionej funkcji h(x) oraz iloczynu niezmienionej funkcji g(x) i pochodnej funkcji h(x).

f'(x)=left[g(x)cdot h(x)right]'=g'(x)cdot h(x)-g(x)cdot h'(x) [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[g(x)\cdot h(x)\right]'=g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)

Przykład

left[x^2cdot sin(x)right]'=2cdot xcdot sin x+x^2cdot cos x

Pochodna iloczynu funkcji składowych g(x), h(x)

f'(x)=left[frac{g(x)}{h(x)}right]'=frac{g'(x)cdot h(x)-g(x)cdot h'(x)}{left[h(x)right]^2} [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]'=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}

Przykład

f'(x)=left[frac{x^2}{sin x}right]'=frac{2cdot xcdot sin x-x^2 cdot cos x}{sin ^2 x}

Pochodna funkcji złożonej f(x)=g[h(x)] jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej g[h(x)] oraz funkcji wewnętrznej h(x).

f'(x)=left[g(h(x))right]'=g'left[h(x)right]cdot h'(x) [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\left[g(h(x))\right]'=g'\left[h(x)\right]\cdot h'(x)

Przykład

f'(x)=left[sin left(x^2right)right]'=cos left(x^2right)cdot 2cdot x

Komentarze