Prawdopodobieństwo zdarzeń warunkowych

Stronę tą wyświetlono już: 404 razy

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywa się liczbę P(A backslash B)={{P(A inter B)}/{P(B)}} przy założeniu, że P(B)>0.

Zadanie 1

Wykonujemy rzut kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wyznaczenia parzystej liczby oczek pod warunkiem wyrzucenia co najmniej 5-ciu oczek.

Rozwiązanie:

Doświadczenie jednoetapowe overline{overline{Omega}}=6

AB - zdarzenie, w którym wyrzucono parzystą liczbę oczek pod warunkiem wyrzucenia co najwyżej 5-ciu oczek.

A - zdarzenie, w którym wyrzucono parzystą liczbę oczek A={2; 4; 6}, overline{overline{A}}=3.

B - zdarzenie, w którym wyrzucono co najwyżej pięć oczek B={1; 2; 3; 4; 5}, overline{overline{B}}=5.

A∪B - zdarzenie, w którym wyrzucono parzystą liczbę oczek i co najwyżej pięć oczek. A∪B = {2; 4}, overline{overline{A inter B}}=2

Obliczanie prawdopodobieństwa:

P(A backslash B)={{P(A inter B)}/{P(B)}}={{overline{overline{A inter B}}}/{overline{overline{Omega}}}}/{{overline{overline{B}}}/{overline{overline{Omega}}}}={{2}/{6}}/{{5}/{6}}={2}/{5}=40% [1]

Prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek pod warunkiem wyrzucenia co najwyżej pięciu oczek jest równe 40%

Zadanie 2

W pojemniku znajdują się 3 kule białe, 2 czarne i 4 zielone. Losowo wybrano 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wyboru kuli białej pod warunkiem, że pierwsza wylosowana kula była zielona.

Rozwiązanie:

Doświadczenie dwuetapowe:

Etap I - losowanie pierwszej kuli overline{overline{Omega_{1}}}=9;

Etap II - losowanie pierwszej kuli overline{overline{Omega_{2}}}=8.

Drzewo do zadania 2
Rys. 1
Rysunek drzewa.

AB - zdarzenie, w którym wylosowano kulę białą pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano kulę zieloną.

A - zdarzenie, w którym za pierwszym razem wylosowano kulę zieloną.

Drzewo do zadania 2
Rys. 2
Drzewo z zaznaczonymi gałęziami sprzyjającymi zajściu zdarzenia B.

Prawdopodobieństwo zdarzenia B:

P(B)={{4}/{9}}*{{3}/{8}}+{{4}/{9}}*{{2}/{8}}+{{4}/{9}}*{{3}/{8}}={{4}/{9}} [2]

A∪B - wylosowano jedną białą i za pierwszym razem wylosowano zieloną.

Drzewo do zadania 2
Rys. 2
Drzewo z zaznaczonymi gałęziami sprzyjającymi zajściu zdarzenia A∪B.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A∪B jest równe:

P(A inter B)={{4}/{9}}*{{3}/{8}}={{1}/{6}} [3]

Teraz można już obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe:

P(A backslash B)={{P(A inter B)}/{P(B)}}={{{{1}/{6}}/{{4}/{9}}}}={{3}/{8}}=37,5% [4]

Zadanie 3

W urnie znajduje się 20 kul, wśród których jest: 8 kul białych z cyfrą 1; 7 kul białych z cyfrą 2; 3 kule czarne z cyfrą 1 i 2 kule czarne z cyfrą 2. Losowo wybieramy jedną kulę. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem wylosowania kuli z cyfrą 2.

Rozwiązanie:

Doświadczenie dwuetapowe:

Etap I - losuję kulę ze względu na kolor overline{overline{Omega_{1}}}=20;

Etap II - sprawdzam kulę ze względu na jej numer, zbiór dla białych overline{overline{B}}=15, zbiór dla czarnych overline{overline{C}}=5;

Drzewo do zadania 3
Rys. 3
Rysunek drzewa.

AB - zdarzenie, w którym wylosowano kulę białą pod warunkiem, że wylosowano kulę z cyfrą 2.

A - zdarzenie, w którym wylosowano kulę białą

B - zdarzenie, w którym wylosowano kulę z cyfrą 2

Drzewo do zadania 3
Rys. 4
Drzewo z zaznaczonymi pogrubieniem gałęziami sprzyjającymi zajściu zdarzenia B.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:

P(B)={{15}/{20}}*{{7}/{15}}+{{5}/{20}}*{{2}/{5}}={{9}/{20}} [5]

A∪B - zdarzenie, w którym wylosowano kulę białą z cyfrą 2.

Drzewo do zadania 3
Rys. 5
Drzewo z zaznaczonymi pogrubieniem gałęziami sprzyjającymi zajściu zdarzenia A∪B.

Prawdopodobieństwo zdarzenia AB jest więc równe:

P(A backslash B)={{P(A inter B)}/{P(B)}}={{{{7}/{20}}/{{9}/{20}}}}={{7}/{9}}approx 77,7% [6]

Komentarze