Ułamki okresowe

Stronę tą wyświetlono już: 1015 razy

Ułamek okresowy, to taki ułamek, który w zapisie dziesiętnym składa się z powtarzającej się sekwencji liczb. Świetnym przykładem ułamka okresowego jest ułamek 1/3, w zapisie dziesiętnym 0.3333333333333333(3) (powtarzający ciąg liczb ułamka okresowego zawarty jest w nawiasach okrągłych). Pytanie jakie można sobie zadać jest następujące: czy można obliczyć zapis zwykły dowolnej liczby okresowej na podstawie jego zapisu dziesiętnego? Okazuje się, że można tego dokonać posługując się wzorem na sumę n elementów ciągu geometrycznego dla q<1, który przyjmuje następującą postać:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_n=\frac{a_1\cdot \left(1-q^n\right)}{1-q}

gdzie:

  • a1 jest to ułamek dziesiętny ciągu powtarzanych liczb, np. dla 1/3 wynosi on 0.3;
  • q to stosunek elementów ciągu geometrycznego a2 do a1, co dla ułamka 1/3 odpowiada stosunkowi 0.03 do 0.3.

Jednakże nas nie interesuje suma n elementów ciągów, a jedynie suma wszystkich elementów ciągu arytmetycznego w związku z czym, konieczne jest obliczenie granicy Sn przy n→∞:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=lim_{n ightarrow infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1\cdot\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}

Dla tych co nie mieli jeszcze styczności z granicami ciągów należy się parę słów wyjaśnienia, otóż w trzecim członie równania [2] znajduje się równanie [1] zawierające wyrażenie qn, które dąży do zera, gdy n→∞, ponieważ jak wcześniej była mowa q<1 a liczba mniejsza od 1 podnoszona do coraz to większej potęgi maleje do zera.

Z powyższego wywodu wynika, że ułamek okresowy zapisany w postaci dziesiętnej można przekształcić do postaci ułamka zwykłego za pomocą wzoru [2]. Podstawmy dla przykładu odpowiednie wartości dla ułamka okresowego 0.(123456) w następujący sposób:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{0.123456}{1-0.000001}=\frac{0.123456}{0.999999}=\frac{123456}{999999}=\frac{41152}{333333}=0.(123456)...

Dla ułamka okresowego postaci 1.12(123) konieczne jest jego rozbicie na dwie części w następujacy sposób:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{112}{100}+\frac{0.00123}{1-0.001}=1\frac{3}{25}+\frac{41}{33300}=1\frac{4037}{33300}=1.12(123)

Istnieje inna metoda, polegająca na pozbyciu się okresowości ułamka x, poprzez odjęcie od niego wartości x·10n, gdzie n to ilość liczb w okresie ułamka x. Aby tego dokonać należy napisać dwa następujące równania:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x=0.(123)

oraz

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

1000\cdot x=123.(123)

Po odjęciu stronami powyższych równań otrzymujemy następujące równanie:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

999\cdot x=123\Rightarrow x=\frac{41}{333}=0.(123)

Co zrobić, gdy liczba składa się z części okresowej i nieokresowej? W zasadzie postępuje się w ten sam sposób, czyli na przykład dla:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x=1.12(123)

drugie równanie to:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

1000\cdot x=1121.23(123)

odejmujemy stronami i otrzymujemy:

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

999\cdot x=1120.11\Rightarrow x=\frac{37337}{33300}=1.21(123)

Dziwny przypadek pierwiastka okresowego

Weźmy dla przykładu pierwiastki 0.(9), 0.1(9) itd. itp. i zamieńmy je na ułamek zwykły, np. tak:

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{0.9}{0.9}=1

i analogicznie:

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{1}{10}+\frac{0.09}{1-0.1}=\frac{1}{10}+\frac{0.09}{0.9}=0.2

Pewnie teraz zastanawiasz się o co tu chodzi? Jeśli nie wiesz o co chodzi, to w tym jednym nielicznym przypadku nie chodzi o pieniądze, a jedynie o to, że liczbie 0.(9) brakuje do jedności dokładnie mówiąc (obym się nie pomylił w rachunkach) 10-∞, mało tego dokładnie tyle samo brakuje ułamkowi okresowemu 0.1(9) i każdemu innemu, który ma w okresie liczbę składającą się z samych dziewiątek.

Weźmy teraz dla odmiany ułamek okresowy 0.(8), ile jemu brakuje do 0.9? otóż brakuje mu dokładnie 0.0(1)2, czyli jedynki powtarzające się do nieskończoności od drugiego miejsca po przecinku, i na samym końcu (gdziekolwiek miało by to być) powinna się znajdować dwójka. Chyba nie muszę nikogo przekonywać, że liczby 10-∞ i 0.0(1)2 różnią się w znaczący sposób swą wartością. Kolejną sprawą jest fakt, że jedynka podzielona przez trzy daje ułamek okresowy 0.(3), ale weź i przemnóż tą liczbę łaskawy człowieku przez 3, a otrzymasz 0.(9) zamiast jedynki, jakby brakowało czegoś do jedność, a jednocześnie niczego nie mogło brakować. Taka sama sytuacja ma miejsce z liczbą 0.(1) (jedna dziewiąta w zapisie ułamka zwykłego), pomnóż ją przez 9 a otrzymasz 0.(9), gdyby to samo mnożenie wykonać w zapisie ułamka zwykłego, wynik byłby równy 1. Nie jest możliwe zapisanie każdego ułamka zwykłego w zapisie dziesiętnym.

Komentarze