Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń metodą drzewa
Stronę tą wyświetlono już: 44211 razy
Metodę drzewa stosuje się w doświadczeniach wieloetapowych. Każde doświadczenie wieloetapowe dzieli się na pojedyncze etapy (próby lub doświadczenia cząstkowe), każdy etap rozpatrujemy oddzielnie
Przykład
Wykonujemy niczym Harwey Dent trzy rzuty monetą.
Mamy tutaj do czynienia z doświadczeniem trój etapowym:
I etap - rzut monetą ;
II etap - rzut monetą ;
III etap - rzut monetą ;

Opis drzewa:
1) punkt wspólny krawędzi nazywa się węzłem;
2) każda gałąź drzewa składa się z ciągu krawędzi;
3) punkt wspólny wszystkich gałęzi nazywa się wierzchołkiem drzewa;
4) każdej krawędzi przypisuje się prawdopodobieństwo pewnego doświadczenia jednoetapowego.
Zasady obliczania prawdopodobieństw z drzewa
1) Zasada mnożenia - prawdopodobieństwo jednej gałęzi jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przypisanych krawędziom, z których dana krawędź się składa.
A - zdarzenie, w którym wypadły same reszki
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe:
b) Zasada dodawania - jeżeli pewnemu zdarzeniu losowemu odpowiada więcej niż jedna gałąź to prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw poszczególnych gałęzi.
B - zdarzenie, w którym wypadły dokładnie dwie reszki.
Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest równe:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}
Zadanie 1
Z talii 52 kart losowo wybrano trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo wyboru co najmniej jednego kiera?
Rozwiązanie:
Doświadczenie trój etapowe:
I etap: - losowanie jednej karty bez zwracania ;
II etap: - losowanie jednej karty bez zwracania ;
III etap: - losowanie jednej karty bez zwracania ;
Stosuję metodę drzewa
A - zdarzenie, w którym wylosowano co najmniej jednego kiera (temu zdarzeniu sprzyja 7 gałęzi drzewa co zostało zaznaczone na rysunku 2.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}\cdot=\frac{11}{50}+\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}\cdot\frac{39}{50}+\frac{13}{52}\cdot\frac{39}{51}\cdot\frac{12}{50}+\frac{13}{52}\cdot\frac{39}{51}\cdot\frac{38}{50}+\frac{39}{52}\cdot\frac{13}{51}\cdot\frac{12}{50}+\frac{39}{52}\cdot\frac{13}{51}\cdot\frac{38}{50}+\frac{39}{52}\cdot\frac{38}{51}\cdot\frac{13}{50}=\frac{997}{1700}\approx 58,6\%
W tym przypadku jednak łatwiej jest posłużyć się zdarzeniem przeciwnym A', któremu sprzyja tylko jedna gałąź drzewa, co zostało pokazane na rysunku 3.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A można obliczyć korzystając z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego A' w następujący sposób:
![]() | [4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=1-P(A ')=1-\frac{39}{52}\cdot\frac{38}{51}\cdot\frac{37}{50}=1-\frac{703}{1700}=\frac{997}{1700}\approx 58,6\%
Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednego kiera wynosi 58,6%
Zadanie 2
W urnie znajdują się 4 kule białe i 6 kul zielonych. Losowo wybrano 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania: a) kul tego samego koloru; b) kul różnokolorowych; c) co najwyżej jednej białej.
Rozwiązanie:
Doświadczenie dwuetapowe:
Etap I - losowanie kuli z
Etap II -losowanie kuli z

a) - zdarzenie, w którym wylosowano kule tego samego koloru. Dla tego zdarzenia rysunek drzewa z zaznaczonymi gałęziami został pokazany poniżej.

Korzystając z rysunku 5 obliczamy prawdopodobieństwo zdarzanie A
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{7}{15}
b) - zdarzenie, w którym wylosowano różnokolorowe kule.

Korzystając z rysunku 6 obliczamy prawdopodobieństwo zdarzanie B
![]() | [6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(B)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{15}
Można też wykorzystać zdarzenie A do tego celu, ponieważ jest ono zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia B
c) zdarzenie, w którym wylosowano co najmniej jedną białą kulę.

Na rysunku 7 widać jak na dłoni, że lepiej będzie użyć do wyznaczanie prawdopodobieństwa zdarzenia C zdarzenia przeciwnego C', czyli takiego, w którym wylosowano tylko zielone kule.
![]() | [8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(C)=1-P(C ')=1-\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
Zadanie 3
W urnie znajdują się piłeczki: m czerwonych i 6 zielonych. Losowo wyciągnięto dwie piłeczki. Prawdopodobieństwo tego, że obie są czerwone wynosi 0,5. Oblicz ile jest piłeczek czerwonych w urnie.
Rozwiązanie:
Doświadczenie dwuetapowe:
Etap I - losujemy I kulkę ;
Etap II - losujemy II kulkę
A - zdarzenie, w którym wylosowano dwie czerwone piłeczki.

Ponieważ wiadomo, że P(A)=0,5 więc można napisać następujące równanie:
![]() | [9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{matrix}\cfrac{m}{m+6}\cdot\cfrac{m-1}{m+5}=\cfrac{1}{2}\\ \\ \cfrac{m^2-m}{m^2+11\cdot m+30}=\cfrac{1}{2}\\ \\ 2\cdot m\cdot (m-1)=(m+6)\cdot(m+5)\\ \\ m^{2}-13\cdot m-30=0 \end{matrix}
Jak widać z rozpisania i uproszczenia zależności [9] otrzymane zostało równanie kwadratowe, dla którego konieczne jest znalezienie pierwiastków.
![]() | [10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{matrix}\Delta=13^2-4\cdot 1\cdot (-30)=289\\ \\ \sqrt{\Delta}=17\\ \\ m_1=\cfrac{13-17}{2}=-2\\ \\ m_2=\cfrac{13+17}{2}=15 \end{matrix}
Założenia m&mt;1 i m∈N a więc m=15
Zadanie 4
W pierwszej urnie są dwie kule białe i trzy czarne (nie żebym był rasistą), natomiast w drugiej trzy czarne i pięć białych. Rzucamy kostką do gry, jeżeli wypadnie 6 oczek to losujemy kulę z urny pierwszej, w przeciwnym przypadku losujemy kulę z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Rozwiązanie:
Doświadczenie dwuetapowe:
I etap - rzut kostką ;
II etap - losowanie kuli z pierwszej urny U1, dla którego lub z drugiej urny U2, dla którego
.
A - zdarzenie, w którym wylosowano kulę białą.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:
![]() | [11] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{8}=\frac{47}{80} = 58.75\%
Zadanie 5
Spośród liczb naturalnych spełniających nierówność losujemy kolejno ze zwracaniem dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A - w którym suma liczb wylosowanych jest mniejsza od dziesięciu; B - zdarzenie, w którym obie wylosowane liczby są równe.
Rozwiązanie:
Nierówność przekształcić należy do następującej postaci:
Ponieważ podstawy potęg w nierówności [12] są sobie równe więc rozwiązaniem nierówności jest nierówność potęg:
Po przekształceniu nierówności [13] otrzymujemy nierówność kwadratową:
Wyliczamy Δ i jej pierwiastek:
Miejsca zerowe:
A więc tajemnica została rozwikłana, losujemy ze zbioru liczb {2; 3; 4; 5; 6}
Doświadczenie dwuetapowe:
Etap I - losowanie pierwszej liczby ;
Etap II - losowanie drugiej liczby .

A - zdarzenie, w którym suma liczb wylosowanych jest mniejsza od 10.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:
B - zdarzenie, w którym wylosowane liczby są sobie równe.

Prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi:

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Sprawdziany Matematyka Klasa 3
Autor:
Iwona Kowalska, Beata Guzowska

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota