Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 13931 razy

Dane są punkty A, B i C rozmieszczone na krawędziach prostopadłościanu jak na rysunku 1 zostało to pokazane. Pierwszą rzeczą, jaką należy zrobić z tymi nieszczęsnymi punktami to sprawdzić czy czasami dwa z nich nie przynależą do jednej płaszczyzny prostopadłościanu. Niestety w rozpatrywanym przypadku tak nie jest, przez co konieczne jest znalezienie punktu przebicia prostej przechodzącej przez wybraną parę punktów z jedną z płaszczyzn prostopadłościanu, na którym wiadomo, że jeden z punktów już leży.

Rys. 1
lustracja początkowa zadania.

Czas zadać sobie konkretne pytanie i udzielić na nie równie konkretnej odpowiedzi, a pytanie to brzmi następująco: jak do diaska znaleźć punkt przebicia danej płaszczyzny prostą? Odpowiedź jest prostsza aniżeli by się wydawało, albowiem wystarczy jedynie znaleźć ślad naszej prostej na danej płaszczyźnie a jego punkt przecięcia się z prostą wyznaczy punkt przebicia.

Skoro zadane zostało już jedno ważne pytanie zagadka i została na nie udzielona równie ważna odpowiedź, czas czym prędzej podjąć życiową decyzję i wybrać parę punktów, dla których wyznaczyć należy punkt przebicia prostej przechodzącej przez nie z daną płaszczyzną. Ja wybrałem punkty A i C, tak by rzutować je na płaszczyznę podstawy, uzyskując tym samym punkty A', C', przez które przechodzi ślad linii zrzutowany na płaszczyznę podstawy 1-2-3-4. A dlaczegóż to wybrałem płaszczyznę 1-2-3-4 jako tą, na którą powinienem rzutować? Odpowiedź brzmi: bo na tej płaszczyźnie leży punkt B. A ktoś dociekliwy mógłby jeszcze zadać pytanie, dlaczego nie wybrałem płaszczyzny 1-4-8-5, na której również punkt B również leży? Odpowiedź brzmi: bo tak jest dla mnie wygodniej.

Wyznaczanie wspólnego punktu płaszczyzny przechodzącej przez punktu <b>A</b>, <b>B</b> i <b>C</b> z płaszczyzną podstawy prostopadłościanu <b>1-2-3-4</b>.
Rys. 2
Wyznaczanie wspólnego punktu płaszczyzny przechodzącej przez punktu A, B i C z płaszczyzną podstawy prostopadłościanu 1-2-3-4.

Punkt D przecięcia się śladu z prostą przechodzącą przez punkty A, C wyznacza drugi punkt, który leży w płaszczyźnie 1-2-3-4, teraz można połączyć ów punkt z punktem B, oznaczając punkt przecięcia się tejże linii z krawędzią 3-4 punktem E. Przedłużyć należy krawędź 1-2 oraz linię przechodzącą przez punkty B, E i D, otrzymując tym samym punkt F. Tenże punkt F należy do płaszczyzn: 1-2-3-4; 1-2-4-5 oraz (co ważniejsze) do płaszczyzny przechodzącej przez punkty A, B, C oraz parę innych, które wcześniej zostały już wyznaczone. Nie trudno jest zauważyć, że punkt F leży na tej samej płaszczyźnie co punkt A więc nie zwlekając już ani chwili, z najdzikszą rozkoszą połączmy te dwa punkty linią uzyskując dodatkowy punkt G przecięcia się jej z krawędzią 1-5 prostopadłościanu, ale, ale nie poprzestawajmy na tym, przedłużmy nowo powstałą linię oraz krawędź 2-6 znajdując tym samym punkt H. Mam nadzieję, że nie będzie wielkim zaskoczeniem stwierdzenie, że ów punkt H leży na płaszczyznach: 1-2-6-5, 2-3-7-6 oraz na płaszczyźnie ABC. Tak jakoś dziwnie się składa, że na płaszczyźnie 2-3-7-6 leży również punkt B. Nie zwlekajmy więc już ani chwili dłużej i połączmy punkt H i B prostą uzyskując w ten podstępny skądinąd sposób punkt I przecięcia się naszej prostej z krawędzią 6-7 prostopadłościanu. Po wykonaniu tych wszystkich jakże trudnych czynności nasz rysunek powinien wyglądać tak jak ten z poniższej ilustracji.

Rys. 3
Wyznaczanie kolejnych punktów przebicia poszczególnych ścian prostopadłościany płaszczyzną ABC.

Cóż nam więc jeszcze do wykonania zostało? Łączymy punkty współpłaszczyznowe kolejno jak leci otrzymując płaszczyznę ścięcia C-E-B-G-A-I jak pokazane zostało to na rysunku 4

Rys. 4
Łączenie punktów tworzących płaszczyznę ścięcia prostopadłościanu płaszczyzną ABC.

Na koniec zwykła uczciwość i przyzwoitość nakazuje, aby wybrać jedną część ściętej bryłki i ją pogrubić. Ja wybrałem tą część, która nie zasłania w tak mozolny sposób wyznaczonej płaszczyzny ścięcia uzyskując tym samym postać końcową jak na rysunku 5

Rys. 5
Pogrubienie ściętej części prostopadłościanu, która nie zasłania płaszczyzny przecięcia.
Layout wykonany przez autora strony, wszelkie prawa zastrzeżone. Jakiekolwiek użycie części lub całości grafik znajdujących się na tej stronie bez pisemnej zgody jej autora surowo zabronione.