Funkcje logarytmiczne

Stronę tą wyświetlono już: 547 razy

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=log_{a} x

Definicja logarytmu

Logarytm liczby b∈R+ przy podstawie a∈R+{1}, jest wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, co w skrócie zapisuje się w następujący sposób:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_ab=c\Leftrightarrow a^c=b

Szczególne oznaczenia logarytmu:

Logarytm dziesiętny zapisywany w dwojaki sposób: log10 x lub log x.

Logarytm naturalny, którego podstawą jest stała e, zapisywany jako ln x.

Prawa działań na logarytmach

Logarytm iloczynu lub suma logarytmów o tej samej podstawie:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[f(x)\cdot g(x)\right]=log_a\left[f(x)\right]+log_a\left[g(x)\right]

Logarytm ilorazu lub różnica logarytmów o tej samej podstawie:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=log_a\left[f(x)\right]-log_a\left[g(x)\right]

Logarytm potęgi:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[f(x)^m\right]=m\cdot log_a\left[f(x)\right]

gdzie:

  • m∈R
Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[\sqrt[n]{f(x)}\right]=\frac{1}{n}\cdot log_a\left[f(x)\right]

gdzie:

  • n∈N{0,1}

Zmiana podstawy logarytmu:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\,b=\frac{log_cb}{log_c,a}

Zależność [7] jest często wykorzystywana w kalkulatorach naukowych w celu wyznaczenia logarytmu o podstawie a z liczby b mając do dyspozycji jedynie logarytm naturalny ln.

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a,b=\frac{1}{log_b\,a}

gdzie:

  • f(x), g(x) dowolne funkcje, dla takich wartości x, dla których f(x)∈R+ oraz g(x)∈R+;
  • a∈ R+{1}
  • b∈ R+{1}

Przebieg funkcji logarytmicznej

Dziedziną funkcji logarytmicznych jest x∈R+, natomiast przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Wszystkie funkcje logarytmiczne typu f(x)=logax mają wspólne miejsce zerowa dla x=1, ponieważ a0=1.

Dla 0<a<1 funkcja logarytmiczna jest malejąca od ∞ do -∞ w całym przedziale wartości dziedziny funkcji. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x∈(0;1), natomiast ujemne dla x∈(1;∞).

Funckja logarytmiczna-1.8-1.2-0.600.61.21.82.430.511.522.533.544.55f(x) = log0.5 x
Rys. 1
Wykres funkcji logarytmicznej f(x)=logax, gdzie parametr 0<a<1.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Dla a>1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca od -∞ do ∞ w całym przedziale wartości dziedziny funkcji. Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x∈(0;1), natomiast dodatnie dla x∈(1;∞).

Funckja logarytmiczna-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.511.522.533.544.55f(x) = log10 x
Rys. 2
Wykres funkcji logarytmicznej f(x)=logax, gdzie parametr a>1.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Komentarze