Ciągi arytmetyczne

Stronę tą wyświetlono już: 127 razy

Definicje ciągu arytmetycznego

Ciąg liczbowy (an) nazywa się arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trójwyrazowy, a każdy wyraz zaczynając od drugiego powstaje poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r będącej różnicą ciągu.

Matematyczny zapis definicji ciągu arytmetycznego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\bigvee_{r\in R}\bigwedge_{n\in N^+}a_{n+1}=a_{n}+r

Skończony ciąg liczbowy (a1, a2, ..., an) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trójwyrazowy, a każdy jego wyraz zaczynając od drugiego powstaje poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r będącej różnicą tego ciągu.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wzór rekurencyjny:

Rekurencyjny wzór na n-ty element ciągu arytmetycznego [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_{n-1}+r

Wzór bezpośredni:

Bezpośredni wzór na n-ty element ciągu arytmetycznego [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_{1}+(n-1)\cdot r

Suma początkowych elementów ciągu arytmetycznego

Wzór na sumę początkowych n elementów ciągu arytmetycznego wygląda następująco:

Wzór na sumę n początkowych elementów ciągu arytmetycznego [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{\left[2\cdota_1+(n-1)\cdot r\right]\cdot n}{2}

Interpretacja graficzna powyższego wzoru dla ciągu arytmetycznego, którego pierwszy element a1 = 1, zaś różnica r = 2 widoczna jest na poniższym rysunku.

Graficzna interpretacja sumy n początkowych elementów ciągu arytmetycznego
Rys. 1
Graficzna interpretacja sumy n początkowych elementów ciągu arytmetycznego jako pole powierzchni połowy prostokąta o wymiarach a1 + a4 = 8 na n = 4

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r > 0.

Ciąg arytmetyczny jest malejący, gdy r < 0.

Ciąg arytmetyczny jest stały, gdy r = 0.

Właściwości elementów ciągu

Gdy dane są dwa elementy ciągu arytmetycznego takie, że różnica ich indeksów jest podzielna przez dwa, to możliwe jest wyliczenie elementu pośredniego w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}

Komentarze