Twierdzenia o zbieżności ciągów liczbowych

Stronę tą wyświetlono już: 119 razy

Twierdzenie o ciągach monotonicznych

Twierdzenie dla ciągów niemalejących

Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest ciągiem zbieżnym.

Graficzna interpretacja tego twierdzenia została pokazana na poniższym rysunku, gdzie granicą ciągu niemalejącego (an) jest pewna liczba a, dla której dla dowolnego ε > 0 znajdzie się takie m ∈ N+, takie że każdy element o indeksie nm będzie spełniał nierówność am > a - ε.

-60-40-2002040600246810Elementy ciągu niemalejącegoa - granica ciągua-ε
Rys. 1
Graficzna interpretacja twierdzenia o ciągach monotonicznych dla ciągu niemalejącego
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Twierdzenie dla ciągów nierosnących

Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest ciągiem zbieżnym.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z każdego ciągu liczbowego ograniczonego można wybrać dowolny podciąg zbieżny.

Warunek Cauchy'ego zbieżności ciągów

Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 i każdego n0∈N+ każdy element ciągu o indeksie n>n0 i m > n0 spełnia warunek |an - am| < ε, co zapisuje się następująco:

matematyczny zapis warunku Cauchy'ego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\bigwedge_{\varepsilon> 0}\bigvee_{n_0\in N^+}\bigwedge_{n> n_0}\bigwedge_{m> n_0}|a_n-a_m|<\varepsilon

Dla lepszego zrozumienia, niechaj dany będzie ciąg (an) następującej postaci:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=\frac{1}{n}

i ciąg (bn), którego elementy składają się z wartości bezwzględnej z różnicy dwóch kolejnych elementów ciągu (an):

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b_n=|a_n-a_{n+1}|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right|

to gdy ciąg (bn) jest zbieżny (a w tym przypadku jest) to ciąg (an) też jest zbieżny.

00.20.40.60.811.20246810Elementy ciągu an Elementy ciągu bn 0 - granica ciągu bn ε
Rys. 1
Graficzna interpretacja twierdzenia o ciągach monotonicznych dla ciągu niemalejącego
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Komentarze