Twierdzenia o ciągach zbieżnych

Stronę tą wyświetlono już: 680 razy

Twierdzenie 1

Ciąg stały, czyli ciąg, którego wszystkie elementy są równe pewnej liczbie a jest ciągiem zbieżnym i liczba a jest jego granicą.

granica ciągu stałego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a

Twierdzenie 2

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.

Twierdzenie 3

Jeżeli lim{n right infty}{a_{n}}=a i lim{n right infty}{b_{n}}=b, to:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\pm b_n\right)=a\pm b

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=a\cdot b

Warunek konieczny dla wzoru [4] to b ≠ 0 i bn ≠ 0.

Twierdzenie 4

Jeżeli lim{n right infty}{a_{n}}=a i lim{n right infty}{b_{n}}=b i prawie wszystkie wyrazy ciągów (an) i (bn) spełniają warunek an ≤ bn to a ≤ b.

Twierdzenie 5 - o trzech ciągach

Jeżeli lim{n right infty}{a_n}=g i lim{n right infty}{b_n}=g i jeżeli (cn) jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność an ≤ cn ≤ bn to lim{n right infty}{c_n}=g.

Komentarze