Twierdzenia o ciągach zbieżnych

Stronę tą wyświetlono już: 1256 razy

Twierdzenie 1

Ciąg stały, czyli ciąg, którego wszystkie elementy są równe pewnej liczbie a jest ciągiem zbieżnym i liczba a jest jego granicą.

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a

Twierdzenie 2

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.

Twierdzenie 3

Jeżeli $lim{n right infty}{a_{n}}=a$ i $lim{n right infty}{b_{n}}=b$ , to:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\pm b_n\right)=a\pm b

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=a\cdot b

Warunek konieczny dla wzoru [4] to b ≠ 0 i b_n ≠ 0.

Twierdzenie 4

Jeżeli $lim{n right infty}{a_{n}}=a$ i $lim{n right infty}{b_{n}}=b$ i prawie wszystkie wyrazy ciągów (a_n) i (b_n) spełniają warunek a_n ≤ b_n to a ≤ b.

Twierdzenie 5 - o trzech ciągach

Jeżeli $lim{n right infty}{a_n}=g$ i $lim{n right infty}{b_n}=g$ i jeżeli (c_n) jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność a_n ≤ c_n ≤ b_n to $lim{n right infty}{c_n}=g$ .