Stronę tą wyświetlono już: 6047 razy

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=log_{a} x

Definicja logarytmu

Logarytm liczby b∈R⁺ przy podstawie a∈R⁺{1}, jest wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, co w skrócie zapisuje się w następujący sposób:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_ab=c\Leftrightarrow a^c=b

Szczególne oznaczenia logarytmu:

Logarytm dziesiętny zapisywany w dwojaki sposób: log₁₀ x lub log x.

Logarytm naturalny, którego podstawą jest stała e, zapisywany jako ln x.

Prawa działań na logarytmach

Logarytm iloczynu lub suma logarytmów o tej samej podstawie:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[f(x)\cdot g(x)\right]=log_a\left[f(x)\right]+log_a\left[g(x)\right]

Logarytm ilorazu lub różnica logarytmów o tej samej podstawie:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=log_a\left[f(x)\right]-log_a\left[g(x)\right]

Logarytm potęgi:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[f(x)^m\right]=m\cdot log_a\left[f(x)\right]

gdzie:

• m∈R

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\left[\sqrt[n]{f(x)}\right]=\frac{1}{n}\cdot log_a\left[f(x)\right]

gdzie:

• n∈N{0,1}

Zmiana podstawy logarytmu:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a\,b=\frac{log_cb}{log_c,a}

Zależność [7] jest często wykorzystywana w kalkulatorach naukowych w celu wyznaczenia logarytmu o podstawie a z liczby b mając do dyspozycji jedynie logarytm naturalny ln.

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

log_a,b=\frac{1}{log_b\,a}

gdzie:

• f(x), g(x) dowolne funkcje, dla takich wartości x, dla których f(x)∈R⁺ oraz g(x)∈R⁺;
• a∈ R⁺{1}
• b∈ R⁺{1}

Przebieg funkcji logarytmicznej

Dziedziną funkcji logarytmicznych jest x∈R⁺, natomiast przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Wszystkie funkcje logarytmiczne typu f(x)=log_ax mają wspólne miejsce zerowa dla x=1, ponieważ a⁰=1.

Dla 0<a<1 funkcja logarytmiczna jest malejąca od ∞ do -∞ w całym przedziale wartości dziedziny funkcji. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x∈(0;1), natomiast ujemne dla x∈(1;∞).

Dla a>1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca od -∞ do ∞ w całym przedziale wartości dziedziny funkcji. Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x∈(0;1), natomiast dodatnie dla x∈(1;∞).