Punkt przegięcia funkcji

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 10176 razy

Czym jest punkt przegięcia funkcji

Zanim przejdę do tego jak sprawdzić, czy dana funkcja ma punkt przegięcia, najpierw pokażę graficznie jakie warunki taki punk przegięcia musi spełniać. W tym celu weźmy sobie taki oto prosty wielomian trzeciego stopnia:

Przykład wielomianu trzeciego stopnia [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=x^3+x^2+x+1

Użyję teraz wzoru [4] z strony Matematyka → Pochodna funkcji → Wzór prostej stycznej do funkcji, by uzyskać następujący wzór funkcji stycznej do punktu przegięcia funkcji f(x):

Wzór funkcji stycznej do punktu przegięcia funkcji f(x) [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(x)=\frac{2\cdot x}{3}+\frac{26}{27}

Teraz rzućmy łaskawym okiem na wykres tej funkcji w otoczeniu punktu przegięcia, który wiem z pewnych źródeł, że znajduje się w punkcie x= -1/3.

yyx00.40.81.21.622.42.83.23.64-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Punkt przegięciaf(x) = x3 + x2 + x + 1s(x) = 2 · x / 3 + 26 / 27
Rys. 1
Wykresy funkcji f(x) i stycznej s(x) do punktu przegięcia znajdującego się w x = 0, f(x = 0)
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

I teraz na podstawie powyższego wykresu mogę wytłumaczyć czym jest punkt przegięcia. Jeżeli obrany zostanie jakiś punkt na wykresie funkcji i narysowana zostanie styczna do tej funkcji w danym punkcie xs i jeżeli się tak szczęśliwie złoży, iż najbliższe otoczenie wykresu tej funkcji po jednej stronie punktu xs; f(xs) i po drugiej stronie tegoż punktu będzie znajdować się po przeciwnych stronach stycznej, to taki punkt jest punktem przegięcia funkcji f(x).

Punkt przegięcia wyznacza więc pewną granicę, pomiędzy częścią wklęsłą wykresu funkcji f(x) a częścią wypukłą.

Warunki istnienia punktu przegięcia funkcji

Funkcja w otoczeniu punktu przegięcia musi być ciągła i musi być co najmniej dwukrotnie różniczkowalna. Jeżeli jednak funkcja ta jest różniczkowalna trzykrotnie to można skorzystać z warunku mówiącego, że: jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna potrójnie i druga pochodna f''(x) ma miejsce zerowe w pewnym punkcie xp oraz trzecia pochodna f'''(x) w tymże punkcie nie jest równa 0 to punkt xp jest punktem przegięcia funkcji f(x).

No to nie pozostało nic innego jak sprawdzić, czy funkcja [1] rzeczywiście ma punkt przegięcia. Najpierw trzeba wyznaczyć pierwszą pochodną tej funkcji:

Pierwsza pochodna funkcji f('x) (wzór [1]) [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=3\cdot x^2+2\cdot x+1

Druga pochodna funkcji f(x):

Druga pochodna funkcji f''(x) (wzór [1]) [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f''(x)=6\cdot x+2\Rightarrow x=-\frac{1}{3}

Jak widać druga pochodna istnieje i ma się dobrze, a jej miejsce zerowe to x = -1/3. No to pozostało obliczenie trzeciej pochodnej:

Trzecia pochodna funkcji f'''(x) (wzór [1]) [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'''(x)=6\ne 0

Jak widać trzecia pochodna istnieje i jest różna od zera w punkcie x = -1/3 a więc punkt -1/3; f(x=-1/3) jest punktem przegięcia.

yyx-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Punkt przegięciaf(x) = x3 + x2 + x + 1f''(x) = 6 · x + 2f'''(x) = 6 · x + 2
Rys. 1
Wykresy funkcji f(x), jej drugiej f''(x) i trzeciej pochodnej f'''(x)
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Można sobie też darować obliczanie trzeciej pochodnej i sprawdzić, czy druga pochodna w otoczeniu jej miejsca zerowego zmienia znak po jednej stronie na przeciwny po drugiej jego stronie.

Propozycje książek
tytuł: Matematyka w uczeniu maszynowym autor: Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

Tytuł:

Matematyka w uczeniu maszynowym

Autor:

Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

tytuł: Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie autor: Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:

Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie

Autor:

Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

tytuł: Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny autor: Amit Saha

Tytuł:

Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny

Autor:

Amit Saha

tytuł: Matematyka dla menedżerów. Wydanie II autor: Michael C. Thomsett

Tytuł:

Matematyka dla menedżerów. Wydanie II

Autor:

Michael C. Thomsett

tytuł: Matematyka Poradnik encyklopedyczny autor: I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:

Matematyka Poradnik encyklopedyczny

Autor:

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

tytuł: Matematyka finansowa autor: Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:

Matematyka finansowa

Autor:

Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

tytuł: Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem autor: Liz Strachan

Tytuł:

Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem

Autor:

Liz Strachan

tytuł: O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty autor: Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:

O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty

Autor:

Witold Sadowski, Wiktor Bartol

tytuł: Matematyka dla biologów autor: Dariusz Wrzosek

Tytuł:

Matematyka dla biologów

Autor:

Dariusz Wrzosek

tytuł: Matematyka dla programistów Java autor: Jacek Piechota

Tytuł:

Matematyka dla programistów Java

Autor:

Jacek Piechota

W związku z tym, że firma Helion nie wywiązuje się z swoich zobowiązań naliczania prowizji za każdą zakupioną książkę a kontakt z ową frmą jest nie możliwy autor strony zmuszony został do zablokowania linkowania książek. Za wszelkie niedogodności z tym związane z góry przepraszam i obiecuję włączenie linkowania gdy tylko sprawa zostanie wyjaśniona