Funkcje kwadratowe

Stronę tą wyświetlono już: 6147 razy

Funkcją kwadratową nazywa się funkcję następującej postaci:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c

gdzie:

• a, b, c - parametry liczbowe funkcji kwadratowej

Wpływ parametrów funkcji na jej przebieg

Parametr a zmienia rozpiętość paraboli, im parametr ten jest bliższy 0 tym bardziej kształt paraboli zbliża się do prostej danej wzorem g(x)=b⋅x-c. Parametr ten wpływa również na kierunek ramion, i tak gdy a<0 parabola jest skierowana ramionami w dół, gdy a>0 parabola jest skierowana ramionami ku górze. na rysunku 2 można zobaczyć parabole, których parametry a₁, a₂, a₃ są dodatnie i spełniają następującą nierówność: a₁<a₂<a₃.

Parametr b zmienia położenie wierzchołka funkcji kwadratowej jak na rysunku 3, gdzie parametry b₁, b₂, b₃ spełniają następującą nierówność b₁>b₂>b₃. Gdy b<0 wierzchołek przesuwa się w prawo, natomiast gdy b>0 wierzchołek funkcji przesuwa się w lewo.

Parametr c przesuwa w pionie wykres funkcji zmieniając tym samym położenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej jak na rysunku 4, parametry c₁, c₂, c₃ spełniają następującą nierówność c₁<c₂<c₃.

Położenie wierzchołka funkcji kwadratowej

Wierzchołek funkcji kwadratowej jest zarazem minimum (gdy parametr a>0) lub maksimum (gdy parametr a<0) funkcji kwadratowej. Miejsce zerowe pochodnej funkcji kwadratowej wyznacza położenie wierzchołka tejże funkcji na osi x. Pochodna dowolnej funkcji kwadratowej jest dana następującym wzorem:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=2\cdot a\cdot x+b

Równanie [7] jest równaniem prostej, dla której miejsce zerowe wyznaczające położenie wierzchołka funkcji kwadratowej f(x) znajduje się w punkcie danym następującym wzorem:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_0=-\frac{b}{2\cdot a}

Do wzoru [1] za x podstawić należy wartość x₀ z równania [3] w następujący sposób:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_0=a\cdot \left(\frac{-b}{2\cdot a}\right)^2+b\cdot \left(-\frac{b}{2\cdot a}\right)+c=\frac{a\cdot b^2}{4\cdot a^2}-\frac{b^2}{2\cdot a}+c=\frac{a\cdot b^2-b^2\cdot 2\cdot a+4\cdot a^2\cdot c}{4\cdot a^2}=\frac{b^2-2\cdot b^2+4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}=\frac{-b^2+4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}

Ujemna wartość licznika ostatecznego wyprowadzenia wzoru [4] nazywana jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej i oznaczana jest dużą literą alfabetu greckiego Δ. Tak więc wyznacznik ten ma następującą postać:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c

Ostatecznie więc współrzędne wierzchołka W funkcji kwadratowej można wyliczyć z następujących zależności:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W=\left(\frac{-b}{2\cdot a}\;\frac{-\Delta}{4\cdot a}\right)

Gdy wyróżnik Δ=0, wierzchołek funkcji kwadratowej leży na osi x (mówi się wtedy, że funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe). W przypadku gdy Δ=0 i b=0 wierzchołek funkcji kwadratowej znajduje się w początku układu współrzędnych i również ma jedno miejsce zerowe. Gdy Δ>0, funkcja kwadratowa ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe a jej wierzchołek leży na osi y, gdy współczynnik b=0. Jeżeli wyróżnik Δ<0 to funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe leżące w zbiorze liczb zespolonych, a jej wierzchołek również leży na osi y, gdy b=0.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Podstawą do wyznaczenia wzoru na miejsca zerowe funkcji kwadratowej jest określenie położenia jej wierzchołka W, ponieważ odległość od niego do miejsc zerowych x₁, x₂ jest taka sama (rysunek 11). Wystarczy teraz wyznaczyć odległość |W_x-x₁|, wykorzystując w tym celu znaną odległość W_y.

Oznaczając umownie przez Δx szukaną odległość |W_x-x₁|, można zapisać następną równość:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a\cdot \Delta x^2=\frac{-b^2+4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\Rightarrow \Delta x=\frac{\sqrt{-b^2+4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Powyższą równość otrzymuje się poprzez pominięcie we wzorze f(x)=a⋅x²+b⋅x+c czynnika b⋅x+c, podstawienie za f(x) współrzędnej W_y wierzchołka funkcji kwadratowej oraz za x zmienną Δx. Teraz pozostało jedynie do współrzędnej W_x dodać i odjąć uzyskaną wartość Δx otrzymując wzory na współrzędne miejsc zerowych x₁, x₂.

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_0=\frac{-b}{2\cdot a}pm \frac{\sqrt{-b^2+4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\frac{-b\pm\sqrt{-b^2+4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}

Gdy wyróżnik Δ=0, wzór [8] przyjmuje następującą uproszczoną postać:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_0=\frac{-b}{2\cdot a}

Gdy wyróżnik Δ<0 funkcja ma dwa miejsca zerowe w zbiorze liczb zespolonych.

Kanoniczna postać równania kwadratowego

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej zawiera wyrażenia, będące współrzędnymi wierzchołka tej funkcji i ma następującą postać:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=a\cdot \left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2-\frac{\Delta}{4\cdot a}

Postać iloczynowa równania kwadratowego

W skład tejże postaci równania kwadratowego wchodzą jej pierwiastki (wartości miejsc zerowych).

Dla Δ=0:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=a\cdot \left(x-x_0\right)^2

Dla Δ≠0:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)

Pierwiastki x₁, x₂ równania kwadratowego dla wyróżnika Δ<0 są liczbami urojonymi.

Postać ogólna równania kwadratowego - patrz równanie [1]

Własności funkcji kwadratowej

Dziedzina funkcji D_f∈(-∞;∞)

Przeciwdziedzina funkcji należy do zbioru:

gdy a>0;

gdy a<0

Dla a>0 funkcja malejąca, dla a<0 rosnąca w przedziale:

natomiast dla a>0 funkcja rosnąca, dla a<0 malejąca w przedziale:

Wartości funkcji kwadratowej dla wyróżnika Δ<0 przyjmują znak zgodny z znakiem wartości parametru a funkcji.

Gdy Δ=0, funkcja przybiera wartości zgodne ze znakiem wartości parametru a z wyjątkiem punktu wierzchołka tejże funkcji.

Gdy Δ>0, funkcja przyjmuje wartości dodatnie gdy a>0, i ujemne gdy a<0 w przedziałach (-∞; x₁);∪(x₂;∞), natomiast wartości dodatnie dla a>0 oraz ujemna dla a<0 w przedziale (x₁;x₂). W punktach x₁, x₂ funkcja przyjmuje wartości zerowe.<

Wierzchołek W funkcji kwadratowej stanowi jej maksimum globalne gdy a<0, natomiast minimum globalne gdy a>0.