Asymptota ukośna funkcji
Stronę tą wyświetlono już: 2510 razy
Dana funkcja f(x) ma asymptotę ukośną opisaną funkcją liniową postaci y(x)=a·x+b wtedy i tylko wtedy, gdy granica pochodnej tejże funkcji dla x→+∞ lub dla x→-∞ jest wartością liczbową, która określa jednocześnie wartość współczynnika a funkcji asymptoty ukośnej.
Dla przykładu funkcja:
ma pochodną:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
f'(x)=\frac{(4\cdot x+4)\cdot(2\cdot x+2)-(2\cdot x^2+4\cdot x)\cdot 2}{(2\cdot x+2)^2}=1+\frac{1}{x^2+2\cdot x+1}
tak więc granica tejże pochodnej dla x→∞ wynosi:
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
a=\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}1+\frac{1}{x^2+2\cdot x+1}=1+\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}=1
Z powyższego wynika, że współczynnik a będzie równy 1. Współczynnik ten można również wyliczyć w nieco prostszy sposób stosując wzór:
Obliczenie współczynnika b polega z kolei na obliczeniu następującej granicy:
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
b=\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-a\cdot x=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\cdot x^2+4\cdot x}{2\cdot x+2}-x=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\cdot x^2+4\cdot x - 2\cdot x^2 - 2\cdot x}{2\cdot x+2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\cdot x}{2\cdot x+2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{2+\frac{2}{x}}=1
Tak więc ostatecznie wzór asymptoty funkcji f(x) będzie następujący:
Wykres funkcji f(x) oraz asymptoty ukośnej pokazany został na poniższej ilustracji.
Ktoś mógłby mi zarzucić, że nie policzyłem granic dla x→-∞, tą część zadania pozostawiam do rozwiązania samodzielnego czytelnikowi.
Funkcje, które mają asymptotę ukośną najczęściej dają się doprowadzić do postaci następującej:
gdzie m(x) jest funkcją liniową powodującą pochylenie asymptoty.

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Sprawdziany Matematyka Klasa 3
Autor:
Iwona Kowalska, Beata Guzowska

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota