Wielomiany

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 6426 razy

Wielomianem nazywa się każdą funkcję postaci:

Ogólna postać wielomianów [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=a_0\cdot x^n+a_1\cdot x^{n-1}+...+a_{n-1}\cdot x^1+a_n\cdot x^0

gdzie:

Szczególną postacią wielomianów są funkcje liniowe (wielomiany 1-go stopnia) oraz funkcje kwadratowe (wielomiany 2-go stopnia).

-180-120-60060120180240300-4-20246810f(x) = a0 ·xn + a1 ·xn-1 + ... + an ·x0
Rys. 1
Wykres przykładowego wielomianu postaci f(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x1+anx0.
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Podzielność wielomianu

Dany wielomian f(x) jest podzielny przez wielomian g(x), który nie jest równy tożsamościowo 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian h(x) taki, że f(x)=g(x)h(x).

Z powyższego zapisu wynika, że pierwiastki wielomianów g(x) oraz h(x) są również pierwiastkami wielomianu f(x). Tak więc powyższe twierdzenie może stać się pomocne przy wyznaczaniu pierwiastków wielomianu f(x).<

Przykład

Dane są wielomiany f(x)=x3+3⋅x2+3⋅x+1 oraz g(x)=x+1, takie że wielomian f(x) podzielony przez wielomian g(x) daje w wyniku wielomian h(x) wyznaczone w następujący sposób:

Pierwiastki wielomianu g(x):

Pierwiastek wielomianu h(x), dla którego wyróżnik Δ=0 jest równy:<

Jedynym więc pierwiastkiem wielomianu f(x) jest x=-1.

-60-300306090120150180210-5-4-3-2-1012345f(x) = x3 + 3 · x2 + 3 · x + 1
Rys. 2
Wykres wielomianu f(x)=x3+3⋅x2+3⋅x+1.
Źródło:
Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Dla każdego dzielenia wielomianu f(x) przez wielomian g(x), taki że g(x) nie jest równy tożsamościowo 0, istnieją takie dwa wielomiany h(x), r(x), takie że spełniona jest następna równość: f(x)=g(x)h(x)+r(x), przy czym wielomian r(x) jest równy tożsamościowo 0, gdy f(x) dzieli się bez reszty przez wielomiany g(x), h(x) lub jest wielomianem mniejszego stopnia od wielomianu g(x).

Przykład

Dane są dwa wielomiany f(x)=x3+3⋅x2+3⋅x, g(x)=x+1, takie że wielomian f(x) podzielony przez wielomian g(x) daje w wyniku wielomiany h(x), r(x) wyznaczone w następujący sposób:

gdzie:

Własności wielomianów

Wielomiany stopnia nieparzystego mają co najmniej jedno miejsce zerowe a ich przeciwdziedzina zawiera się w przedziale od -∞ do ∞.

Każdy wielomian może mieć co najwyżej n rzeczywistych rozwiązań, gdzie n jest stopniem danego wielomianu.

Wielomiany stopnia parzystego mają przeciwdziedzinę zawierającą się w przedziale od minimum globalnego do ∞, gdy parametr a0>0, natomiast w przedziale od -∞ do maksimum globalnym gdy parametr a0<0.

Każdy wielomian parzysty postaci xn-a ma dwa rzeczywiste rozwiązania:

natomiast dla stopnia parzystego tej samej postaci istnieje jedno rozwiązanie:

Każdy wielomian, którego wyraz wolny an=0 ma miejsce zerowe w początku układu współrzędnych.

Twierdzenie Bézouta

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian f(x) jest podzielny przez dwumian x-r.

Reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez dwumian x-a jest równa f(x=a).

Twierdzenia o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych

Jeżeli liczba całkowita r0 jest pierwiastkiem wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego an.

Jeżeli nieskracalny ułamek p/q, gdzie p, q∈C i q0 jest pierwiastkiem wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, to licznik p jest dzielnikiem wyrazu wolnego an, a mianownik q jest dzielnikiem współczynnika a0.

Twierdzenia o rozkładzie wielomianów

Jeżeli liczby x1, x2,....,xk są pierwiastkami wielomianu f(x) to f(x)=a0⋅(x-x1)⋅(x-x2)⋅...⋅(x-xk), gdzie k jest mniejsze lub równe stopniowi wielomianu f(x).

Każdy wielomian f(x) nie równy tożsamościowo 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Pierwiastek wielokrotny

Liczbę r nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(x) stopnia n gdzie k, n∈N i k≤n wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian f(x) jest podzielny przez (x-r)k i nie jest podzielny przez (x-r)k+1.

Liczba r jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy f(x)=f'(x)=...=f(k-1)(x) i fk(x)0, gdzie fk(x) jest k-tą pochodną wielomianu f(x).

Metody wyznaczania miejsc zerowych niektórych wielomianów stopnia wyższego niż 2

Wielomiany dające się uprościć do postaci równania kwadratowego

Wielomian f(x)=a⋅x2⋅n+b⋅xn+c=0, gdzie a≠0 można uprościć do postaci równania kwadratowego poprzez zastosowanie zmiennej pomocniczej t=xn, gdzie z kolei t0, gdy n jest liczbą parzystą.

W takim przypadku rozwiązuje się równanie kwadratowe f(t)=a⋅t2+b⋅t+c w sposób opisany już w wcześniejszym rozdziale.

Wielomian zwrotny czwartego stopnia

Wielomian postaci f(x)=a⋅x4+b⋅x3+b⋅x2+b⋅x+1 można rozwiązać poprzez wstępne podzielenie wielomianu f(x) przez x2 otrzymując następującą postać wielomianu f(x):

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a\cdot \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0

a następnie podstawiając następującą zmienną pomocniczą:

otrzymując w ten jakże przebiegły sposób zwyczajne równanie kwadratowe f(t)=a⋅t2+b⋅t+c.

Równanie algebraiczne stopnia n

Jeżeli wielomian f(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x1+anx0 rozkłada się na czynniki an⋅ (x-x1)⋅(x-x2)⋅...⋅(x-xn-1)⋅(x-xn), gdzie a00, to równanie f(x)=0 jest równoważne alternatywie równań: x-x1=0x-x2=0 ∨ ... ∨ x-xn-1=0x-xn=0

Propozycje książek
tytuł: Matematyka w uczeniu maszynowym autor: Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

Tytuł:

Matematyka w uczeniu maszynowym

Autor:

Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

tytuł: Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie autor: Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:

Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie

Autor:

Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

tytuł: Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny autor: Amit Saha

Tytuł:

Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny

Autor:

Amit Saha

tytuł: Matematyka dla menedżerów. Wydanie II autor: Michael C. Thomsett

Tytuł:

Matematyka dla menedżerów. Wydanie II

Autor:

Michael C. Thomsett

tytuł: Matematyka Poradnik encyklopedyczny autor: I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:

Matematyka Poradnik encyklopedyczny

Autor:

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

tytuł: Matematyka finansowa autor: Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:

Matematyka finansowa

Autor:

Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

tytuł: Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem autor: Liz Strachan

Tytuł:

Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem

Autor:

Liz Strachan

tytuł: O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty autor: Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:

O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty

Autor:

Witold Sadowski, Wiktor Bartol

tytuł: Matematyka dla biologów autor: Dariusz Wrzosek

Tytuł:

Matematyka dla biologów

Autor:

Dariusz Wrzosek

tytuł: Matematyka dla programistów Java autor: Jacek Piechota

Tytuł:

Matematyka dla programistów Java

Autor:

Jacek Piechota

W związku z tym, że firma Helion nie wywiązuje się z swoich zobowiązań naliczania prowizji za każdą zakupioną książkę a kontakt z ową frmą jest nie możliwy autor strony zmuszony został do zablokowania linkowania książek. Za wszelkie niedogodności z tym związane z góry przepraszam i obiecuję włączenie linkowania gdy tylko sprawa zostanie wyjaśniona