Prostopadłościany to ogólnie mówiąc sześciany, których boki składają się z prostokątów. Szczególnym przypadkiem prostopadłościanu jest sześcian foremny lub sześcian Platoński. Kąt zawarty pomiędzy sąsiadującą parą ścian prostopadłościanu są sobie równe i wynoszą 90°. Każdy prostopadłościan ma:
4 przekątne;
6 ścian;
8 wierzchołków;
8 krawędzi;
Podstawowe wzory:
Objętość prostopadłościanu:
[1]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=a\cdot b\cdot c
Pole powierzchni prostopadłościanu:
[2]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
S=2\cdot(a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c)
Długość przekątnej prostopadłościanu:
[3]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
p=\sqrt{a^2+b^2+c^2}
Promień kuli opisanej na prostopadłościanie:
[4]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
R=\frac{p}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}
Przykładowa siatka prostopadłościanu
Zadania
Zadanie 1
Oblicz objętość prostopadłościanu, którego przekątna p = 3 [cm] zaś stosunek długości boku b do a jest równy oraz stosunek boku c do a wynosi .
Do rozwiązania tego zadania konieczne będzie skorzystanie z wzoru [3], ale zanim to nastąpi najpierw trzeba uzależnić długości boków prostopadłościanu tak, aby w równaniu [3] pozostała tylko jedna niewiadoma. Oto przekształcenia:
[5]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\frac{b}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow b=a\cdot\sqrt{2}
[6]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\frac{c}{a}=\sqrt{6}\Rightarrow c=a\cdot\sqrt{6}
Do równania [3] podstawić należy w następujący sposób:
[7]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
3=\sqrt{a^2+2\cdot a^2+ 6\cdot a^2}=3\cdot a\Rightarrow a = 1
Znając a można obliczyć objętość prostopadłościanu:
Oblicz objętość prostopadłościanu, którego przekątna jednej powierzchni bocznej p1 = 10[cm] zaś drugiej powierzchni bocznej p2 = 17[cm] natomiast wysokość h tego sześcianu będąca równocześnie krawędzią obu tych boków ma długość 8[cm].
Korzystając z starego dobrego twierdzenia Pitagorasa można obliczyć długość boku a i b, co też i z najdzikszą rozkoszą czynię:
Skoro znane są długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu to pozostało już tylko obliczenie upragnionej objętości:
[11]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=a\cdot b\cdot h=6\cdot 15\cdot 8=720 [cm^3]
Zadanie 3
Dany jest prostopadłościan o bokach a, b i c i objętości V = 3000 [m3], który po skróceniu najkrótszego boku o 20% i wydłużeniu najdłuższego ma objętość V2 = 2880 [m3]. Oblicz o ile procent wydłużył się najdłuższy bok tego prostopadłościanu.
Dane jest więc:
[12]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=a\cdot b\cdot c=2000 [cm^3]
oraz:
[13]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V_s=0.8\cdot a\cdot x \cdot b\cdot c=2880 [cm^3]
Po podstawieniu za a·b·c zależności [12] otrzymuje się następujące równanie z jedną niewiadomą:
[14]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
0.8\cdot x \cdot V=2880 [cm^3]\Rightarrow 0.8\cdot 3000\cdot x = 2880 [xm^3]\Rightarrow x=1.2 [-]
Z powyższego wynika, że długość najdłuższego boku prostopadłościanu została zwiększona o 20%.