Stronę tą wyświetlono już: 37796 razy

Podstawowa definicja i oznaczenia

A niechaj będą dane dwa punkty F₁ i F₂ takie, że F₁ ≠ F₂, które są ogniskami elipsy i dwie dodatnie liczby rzeczywiste a i b, które z kolei opisują wartości promieni tejże elipsy, to w takim przypadku zbiór wszystkich punktów, których suma odległości od ognisk elipsy F₁ i F₂ jest stała i wynosi 2· a, gdzie z kolei 2·a > |F₁F₂|=2· c > 0.

Patrząc na powyższą ilustrację i stosując się do definicji elipsy należy stwierdzić niezbicie, że dla dowolnie obranego punktu P znajdującego się na obwodzie elipsy można zapisać następującą równość:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_1+R_2=2\cdot a

Odległość c ogniskowych F₁ i F₂ od środka ciężkości S elipsy można wyznaczyć wykorzystując następujący wzór:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

c=\sqrt{a^2-b^2}

Elipsę charakteryzuje również pewna wartość e nazywana mimośrodem elipsy, która jest równa:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

e=\frac{c}{a}<1

Dla każdego punktu P elipsy spełniona jest następująca równość powiązana z mimośrodem e:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{|PF_1|}{|P,\,k_1|}=\frac{|PF_1|}{|P,\,k_2|}=e

gdzie:

• |P, k₁| - odległość punktu P od prowadnicy k₁;
• |P, k₂| - odległość punktu P od prowadnicy k₂;

Odległość położenia prowadnic k₁, k₂ na osi symetrii symetrii k od środka ciężkości S można obliczyć z następującej zależności:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=\frac{a^2}{c}

Równanie elipsy

Dla elipsy, której środek ciężkości S znajduje się w początku układu współrzędnych równanie będzie przyjmowało następującą postać

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

gdzie a > 0 i b > 0.

Natomiast dla elipsy, dla której środek ciężkości S = {x_s, y_s} równanie to przyjmuje postać następującą:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{(x-x_s)^2}{a^2}+\frac{(y-y_s)^2}{b^2}=1

Równania parametryczne elipsy dla parametru t, takiego że ) ≤ t ≤ 2 · π:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x = a\cdot\cos t \\ y = b\cdot\sin t \end{cases}

W układzie współrzędnych biegunowych, równanie elipsy wygląda następująco:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{b^2}{1 - e^2 \cdot\cos^2 \theta}=r^2

Elipsa jako szczególny przypadek hipocykloidy

Istnieje szczególny przypadek Hipocykloid, które są w stanie wykreślić krzywe eliptyczne co zostało pokazane na poniższej animacji. Więcej informacji na temat tego typu krzywych można zobaczyć na stronie Matematyka → Geometria → Hipocykloidy.

Konstrukcje kreślenia elips

Na stronie Geometria wykreślna → Podstawowe konstrukcje → Kreślenie elips zostały pokazane i omówione dość szczegółowo najczęściej stosowane konstrukcje umożliwiające przybliżone kreślenie krzywych eliptycznych. Same ilustracje tychże metod zostały zamieszczone na poniższym rysunku.

a)b)

Kreślenie elipsy za pomocą dwóch szpilek, sznurka i ołówka

Na poniższej ilustracji punkty F₁ i F₂ stanowią miejsce wbicia szpilek, do których należy przywiązać sznurek. Ten z kolei będzie ograniczał ruch ołówka co umożliwi wykreślenie przybliżonej elipsy.

Kreślenie elipsy za pomocą elipsografu

Elipsograf to dość zmyślny przyrząd wykorzystujący parę suwadeł i cięgno do kreślenia elipsy bez konieczności stosowania jakichkolwiek metod interpolacyjnych (np. przy użyciu krzywików). Zasada działania takiego przyrządu pokazana została na poniższej animacji.

Pole powierzchni i obwód elipsy

Pole powierzchni elipsy można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P=\pi\cdot a\cdot b

Przybliżony obwód elipsy można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L\approx\pi \left({{3 \over 2}(a+b)-\sqrt{ab}}\right)

Dokładny wzór:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L = 4\cdot a\cdot E(e^2) = 4\cdot a\cdot E\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right) = 4\cdot a\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-e^2\cdot \sin^2\theta} \ d\theta = 4\cdot a\int_0^1 \frac{\sqrt{1-e^2\cdot t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\ dt

gdzie:

• E - to zupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju;
• e - mimośród elipsy

Równanie stycznej do elipsy

Gdy elipsa ma środek ciężkości w początku układu współrzędnych, to równanie prostej stycznej do punktu P₀ = {x₀, y₀} to równanie przyjmuje następującą postać:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{x_0}{a^2}\cdot x+\frac{y_0}{b^2}\cdot y=1

W przypadku, gdy środek ciężkości elipsy nie znajduje się w początku układu współrzędnych równanie stycznej przyjmuje postać:

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{(x_0-x_s)\cdot (x-x_s)}{a^2}+\frac{(y_0-y_s)\cdot (y-y_s)}{b^2}=1

Właściwości stycznych do elipsy

Każda styczna do elipsy stanowi dwusieczną kąta zewnętrznego (co pokazano na poniższej ilustracji).

Jeżeli dane są dwie styczne do punktów P₁ i P₂ elipsy oraz punkt przecięcia P₃ tychże stycznych, to kąt zawarty pomiędzy jedną z ogniskowych a punktem P₁ i P₃ oraz P₂ i P₃ są sobie równe, co zostało pokazane na poniższej ilustracji.